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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 59

Calcule a integral indefinida:

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = tg theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x = int (sqrt(1 + tg^2 theta))/(tg^3 theta) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sqrt(1 + tg^2 theta))/(tg^3 theta) sec^2 theta d theta = int (sqrt(sec^2 theta))/(tg^3 theta) sec^2 theta d theta = int (sec theta)/(tg^3 theta) sec^2 theta d theta = int (sec^3 theta)/(tg^3 theta) d theta

Passo 2

Vamos fazer algumas manipulações trigonométricas:

int (sec^3 theta)/(tg^3 theta) d theta = int ((1)/(cos^3 theta))/((sen^3 theta)/(cos^3 theta)) d theta = int (1)/(cos^3 theta) * (cos^3 theta)/(s en^3 theta) d theta = int (1)/(sen^3 theta) d theta = int cosec^3 theta d theta

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int cosec^n u d u = (- 1)/(n - 1) cosec^(n - 2) u cotg u + (n - 2)/(n - 1) int cosec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int cosec^3 theta d theta = (- 1)/(3 - 1) cosec^(3 - 2) theta cotg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int cosec^(3 - 2) theta d theta

int cosec^3 theta d theta = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) int cosec theta d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cosec x d x = ln |cosec x - cotg x| + C

Agora é só aplicar:

int cosec theta d theta = ln |cosec theta - cotg theta| + C

E vamos juntar tudo:

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x = int cosec^3 theta d theta = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) int cosec theta d theta =

= - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) ln |cosec theta - cotg theta| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) ln |cosec theta - cotg theta| + C

Temos que x = tg theta , ou seja, tg theta = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar co sec theta e cotg theta :

Assim os valores de cosec theta e cotg theta são:

cosec theta = (1)/(sen theta) = (1)/((x)/(sqrt(1 + x^2))) = (sqrt(1 + x^2))/(x)

cotg theta = (1)/(tg theta) = (1)/(x)

Pronto, ficamos então com:

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) ln |cosec theta - cotg theta| + C =

= - (1)/(2) * (sqrt(1 + x^2))/(x) * (1)/(x) + (1)/(2) ln |(sqrt(1 + x^2))/(x) - (1)/(x)| + C = - (sqrt(1 + x^2))/(2 x^2) + (1)/(2) ln |(sqrt(1 + x^2))/(x) - (1)/(x)| + C

Resposta

int (sqrt(1 + x^2))/(x^3) d x = - (sqrt(1 + x^2))/(2 x^2) + (1)/(2) ln |(sqrt(1 + x^2))/(x) - (1)/(x)| + C

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