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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 60

Calcule a integral indefinida:

int ((x + 1))/(sqrt(4 - x^2)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

x = 2 sen theta -> theta = arcsen ((x)/(2))

d x = 2 cos theta d theta

Substituindo temos:

int ((x + 1))/(sqrt(4 - x^2)) d x = int ((2 sen theta + 1))/(sqrt(4 - 4 sen^2 theta)) 2 cos theta d theta = int ((2 sen theta + 1))/(sqrt(4 (1 - sen^2 theta))) 2 cos theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int ((2 sen theta + 1))/(sqrt(4 (1 - sen^2 theta))) 2 cos theta d theta = int ((2 sen theta + 1))/(sqrt(4 cos^2 theta)) 2 cos theta d theta = int ((2 sen theta + 1))/(2 cos theta) 2 cos theta d theta =

= int 2 sen theta + 1 d theta = 2 int sen theta d theta + int 1 d theta

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sen x d x = - cos x + C

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

2 int sen theta d theta + int 1 d theta = 2 (- cos theta) + k theta + C = - 2 cos theta + theta + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sen theta , ou seja, sen theta = (x)/(2) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos theta :

Assim:

cos theta = (sqrt(4 - x^2))/(2)

Substituindo ficamos com:

int ((x + 1))/(sqrt(4 - x^2)) d x = - 2 cos theta + theta + C = - 2 (sqrt(4 - x^2))/(2) + arcsen ((x)/(2)) + C =

= - sqrt(4 - x^2) + arcsen ((x)/(2)) + C

Resposta

int ((x + 1))/(sqrt(4 - x^2)) d x = - sqrt(4 - x^2) + arcsen ((x)/(2)) + C

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