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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 27

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(cotg x ( 6 + 7 cos 2 x ))

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando para tentar chegar em algo que nós conhecemos. Começamos com o seguinte:

int (d x)/(cotg x ( 6 + 7 cos 2 x )) = int (d x)/((cos x)/(sen x) ( 6 + 7 cos 2 x )) = int (sen x d x)/(cos x ( 6 + 7 cos 2 x ))

Lembre-se que cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) -> cos 2 x = 2 cos^2 x - 1 .

int (sen x d x)/(cos x (6 + 7 (2 cos^2 x - 1))) = int (sen x d x)/(cos x (14 cos^2 x - 1))

Perceba que agora cabe uma substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a substituição cos x = u -> sen x d x = - d u .

int (sen x d x)/(cos x (14 cos^2 x - 1)) = int (- d u)/(u (14 u^2 - 1))

Agora vou multiplicar por u no numerador e no denominador.

int (- d u)/(u (14 u^2 - 1)) = int (- u d u)/(u^2 (14 u^2 - 1))

Façamos outra substituição h = u^2 -> (d h)/(2) = u d u .

int (- u d u)/(u^2 (14 u^2 - 1)) = int (- (d h)/(2))/(h (14 h - 1)) = int (- (d h)/(2))/(14 h (h - (1)/(14))) = - (1)/(28) int (d h)/(h (h - (1)/(14)))

Passo 3

Aqui nós podemos utilizar frações parciais para resolver, porém, como o exercício não é especificamente de frações parciais, vamos utilizar a fórmula:

(1)/((x - a) (x - b)) = (1)/((a - b) (x - a)) + (1)/((b - a) (x - b))

Dessa forma, para a = 0 e b = (1)/(14) , ficamos com:

- (1)/(28) int (d h)/(h (h - (1)/(14))) = - (1)/(28) int ((1)/((- (1)/(14)) (h)) + (1)/(((1)/(14)) (h - (1)/(14)))) d h

= - (1)/(28) int ((- 14)/(h) + (14)/((h - (1)/(14)))) d h = - (1)/(2) int ((- 1)/(h) + (1)/((h - (1)/(14)))) d h

Basta lembrar que int (1)/(x - a) d x = ln |x - a| + C . Então,

- (1)/(2) int ((- 1)/(h) + (1)/((h - (1)/(14)))) d h = - (1)/(2) (- ln |h| + ln |h - (1)/(14)|) + C

- (1)/(2) int ((- 1)/(h) + (1)/((h - (1)/(14)))) d h = (1)/(2) (ln |h| - ln |h - (1)/(14)|) + C

Passo 4

Como a integral foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Lembrando que cos x = u e h = u^2 , ficamos com h = ( cos x )^2 , ou seja,

int (d x)/(cotg x ( 6 + 7 cos 2 x )) = (1)/(2) (ln |h| - ln |h - (1)/(14)|) + C

= (1)/(2) (ln |(cos^2 x)| - ln |(cos x)^2 - (1)/(14)|) + C

= ln ( cos x ) - (1)/(2) ln |(14 cos^2 x - 1)/(14)| + C = ln ( cos x ) - (1)/(2) ln |14 cos^2 x - 1| - ( - (1)/(2) ln 14 ) + C

Perceba aqui que - (1)/(2) ln 14 mais uma constante continua sendo constante. Então,

int (d x)/(cotg x ( 6 + 7 cos 2 x )) = ln ( cos x ) - (1)/(2) ln |14 cos^2 x - 1| + C

Esse é o resultado procurado.

Resposta

int (d x)/(cotg x ( 6 + 7 cos 2 x )) = ln ( cos x ) - (1)/(2) ln |14 cos^2 x - 1| + C

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