Calcule a integral indefinida:

∫ d x cotg ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x )

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando para tentar chegar em algo que nós conhecemos. Começamos com o seguinte:

∫ d x cotg ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x ) = ∫ d x cos ⁡ x sen ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x ) = ∫ sen ⁡ x d x cos ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x )

Lembre-se que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2   →       cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 .

∫ sen ⁡ x d x cos ⁡ x 6 + 7 2 cos 2 ⁡ x - 1 = ∫ sen ⁡ x d x cos ⁡ x 14 cos 2 ⁡ x - 1

Perceba que agora cabe uma substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a substituição cos ⁡ x = u     →     sen ⁡ x d x = - d u .

∫ sen ⁡ x d x cos ⁡ x 14 cos 2 ⁡ x - 1 = ∫ - d u u 14 u 2 - 1

Agora vou multiplicar por u no numerador e no denominador.

∫ - d u u 14 u 2 - 1 = ∫ - u d u u 2 14 u 2 - 1

Façamos outra substituição h = u 2     →       d h 2 = u d u .

∫ - u d u u 2 14 u 2 - 1 = ∫ - d h 2 h 14 h - 1 = ∫ - d h 2 14 h h - 1 14 = - 1 28 ∫ d h h h - 1 14

Passo 3

Aqui nós podemos utilizar frações parciais para resolver, porém, como o exercício não é especificamente de frações parciais, vamos utilizar a fórmula:

1 x - a x - b = 1 a - b x - a + 1 b - a x - b

Dessa forma, para a = 0 e b = 1 14 , ficamos com:

- 1 28 ∫ d h h h - 1 14 = - 1 28 ∫ 1 - 1 14 h + 1 1 14 h - 1 14 d h

= - 1 28 ∫ - 14 h + 14 h - 1 14 d h = - 1 2 ∫ - 1 h + 1 h - 1 14 d h

Basta lembrar que ∫ 1 x - a d x = ln ⁡ x - a + C . Então,

- 1 2 ∫ - 1 h + 1 h - 1 14 d h = - 1 2 - ln ⁡ h + ln ⁡ h - 1 14 + C

- 1 2 ∫ - 1 h + 1 h - 1 14 d h = 1 2 ln ⁡ h - ln ⁡ h - 1 14 + C

Passo 4

Como a integral foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Lembrando que cos ⁡ x = u     e h = u 2 , ficamos com h = ( cos ⁡ x ) 2 , ou seja,

∫ d x cotg ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x ) = 1 2 ln ⁡ h - ln ⁡ h - 1 14 + C

= 1 2 ln ⁡ cos 2 ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 14 + C

= ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 1 2 ln ⁡ 14 cos 2 ⁡ x - 1 14 + C = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 1 2 ln ⁡ 14 cos 2 ⁡ x - 1 - ( - 1 2 ln ⁡ 14 ) + C

Perceba aqui que - 1 2 ln ⁡ 14 mais uma constante continua sendo constante. Então,

∫ d x cotg ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x ) = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 1 2 ln ⁡ 14 cos 2 ⁡ x - 1 + C

Esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ d x cotg ⁡ x ( 6 + 7 cos ⁡ 2 x ) = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 1 2 ln ⁡ 14 cos 2 ⁡ x - 1 + C

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