Um funil com um dado volume deve ter a forma de um cone circular reto. Ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado em suan fabricação for mínima.

Nosso problema é de otimização. Dado um volume FIXO, queremos a Menor Area.

Sabendo que :

Volume Cone = 1/3 h . Area da Base = (I)

Area Lateral Cone = (II)

Podemos usar pitagoras para encontrar g .

Logo

g² = h² + r²

g = (III)

Assim, usando (II) em (II) temos :

ACone=

Nossa intenção é Derivar Acone e igualar a zero para encontrar a otimização. Porem A é uma função de h e r , ou seja , A(h,r). Assim temos que achar alguma outra relação que faça uma variável seja função da outra

Visto que Temos um volume fixo, então podemos pegar a equação (I) e igualar a uma constante arbitraria. Logo :

Assim temos que h = .

Pronto , fizemos h ser função de r.

Nossa função de Area lateral fica agora

ACone= =

Agora podemos otimizar nossa função.

Um truque que pode nos ajudar

Tem a mesma solução . Logo, por ser mais fácil , vou derivar a equação (V)

Queremos a razão h/r

Sabendo que h = , podemos dizer que r² =

Logo h =

Assim h/r = =