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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 5

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

5. ∫ 0 1 2 x + 1 3 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 0 1 2 x + 1 3 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 2 x + 1

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = 2 d x

∴ d u 2 = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 2 x + 1 3 d x = 1 2 ∫ 0 1 u 3 d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 2 x + 1

u 0 = 2.0 + 1 = 1

u 1 = 2.1 + 1 = 3

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

1 2 ∫ 1 3 u 3 d u = 1 2 . u 4 4 3 1

1 2 ∫ 1 3 u 3 d u = 1 2 3 4 4 - 1 4 4 = 10

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

1 2 ∫ 0 1 u 3 d u = 1 2 . u 4 4 1 0

1 2 ∫ 0 1 u 3 d u = 1 2 . 2 x + 1 4 4 1 0 = 1 2 . 3 4 4 - 1 4 4 = 10

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 0 1 2 x + 1 3 d x = 10

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int (d x)/(x sqrt(- x^2 + x + 2 ))
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sec ⁡ 4 x tan ⁡ 4 xd x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ x 3 5 + x 4d x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ x 2 1 + xd x ; u = 1 + x b ∫ csc ⁡ ( sin ⁡ x ) 2 cos ⁡ xd x ; u = sin ⁡ x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sec 2 ⁡ 5 xd x