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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 52

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico um integrando e sua primitiva (tome c = 0 ).

∫ sin 3 ⁡ ( x ) cos 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Calma jovem, vamos calcular essa integral de um jeito que você vai entender, vamos lá? Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 . Substituindo

∫ sin 2 ⁡ ( x ) sin ⁡ x cos 4 ⁡ ( x ) d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 4 ⁡ ( x ) s i n ⁡ ( x ) d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o s ⁡ ( x ) , temos que d u = - sin ⁡ x d x , substituindo

∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 4 ⁡ ( x ) d x = - ∫ 1 + u 2 u 4 d u = - ∫ u 4 + u 6 d u = - 1 5 u 5 - 1 7 u 7 + c = - 1 5 cos 5 ⁡ x - 1 7 cos 7 ⁡ x + c

Passo 2

Esboçando os gráficos, ficamos com ( f → p r e t o ,     F → c i n z a )

Vemos no gráfico que isso é razoável, pois F aumenta onde f é positivo e F diminui onde f é negativo.

Resposta

∫ sin 3 ⁡ ( x ) cos 4 ⁡ ( x ) d x = - 1 5 cos 5 ⁡ x - 1 7 cos 7 ⁡ x + c

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