Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 35
Calcule a integral.
Passo 1
E aí, galera! Tudo certinho 😎?
Nessa questão, temos que descobrir quanto vale a integral indefinida
Observe que nesse caso, o intervalo de integração é igual a e o integrando é a função
🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Parte do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função é contínua no intervalo então
- A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
onde é a primitiva da função , ou seja,
- A integral indefinida das funções trigonométricas seno e cosseno são
e
onde é uma constante qualquer.
Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!
👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função e obter o seu valor nos extremos do intervalo .
Passo 2
Começamos encontrando a integral indefinida
Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo .
Logo,
Usando as integrais indefinidas das funções trigonométricas, temos que
Observe que derivando a expressão que encontramos, vamos obter
ou seja, encontramos a integral indefinida (primitiva) de certinha 🎉!
Passo 3
Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é , temos:
Como no Passo anterior encontramos que
então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:
Em
ou seja,
Em
ou seja,
Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:
Dessa forma, a integral procurada vale
Resposta
A integral vale: