Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 35

E aí, galera! Tudo certinho 😎?

Nessa questão, temos que descobrir quanto vale a integral indefinida

Observe que nesse caso, o intervalo de integração é igual a e o integrando é a função

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

Parte do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função é contínua no intervalo então

onde é a primitiva da função , ou seja,

A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

onde é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função e obter o seu valor nos extremos do intervalo .

Começamos encontrando a integral indefinida

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo .

Logo,

Usando as integrais indefinidas das funções trigonométricas, temos que

Observe que derivando a expressão que encontramos, vamos obter

ou seja, encontramos a integral indefinida (primitiva) de certinha 🎉!

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é , temos:

Como no Passo anterior encontramos que

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

ou seja,

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

Dessa forma, a integral procurada vale

A integral vale: