Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1

Passo 1

A questão pede a integral que fornece o comprimento da elipse. Para isso, precisamos isolar y como função de x :

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2 ⇒ y 2 = b 2   1 - x 2 a 2

Quando tiramos a raiz quadrada, obtemos duas funções:

y = b 1 - x 2 a 2   e     y = - b 1 - x 2 a 2

A primeira representa o ramo de cima da elipse e a segunda o ramo de baixo, sendo que - a ≤ x ≤ a . Desta forma, vamos considerar apenas o comprimento do ramo de cima e multiplica-lo por dois:

L = 2 ∫ - a a 1 + y ' 2   d x

Passo 2

Derivando   y :

y ' = b 1 2 1 - x 2 a 2 ⋅ - 2 x a 2 = - x a b a 2 a 2 - x 2 = - b a ⋅ x a 2 - x 2

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + b 2 a 2 ⋅ x 2 ( a 2 - x 2 )

Desta forma,

L = 2 ∫ - a a 1 + b 2 a 2 ⋅ x 2 ( a 2 - x 2 )   d x

Resposta

L = 2 ∫ - a a 1 + b 2 a 2 ⋅ x 2 ( a 2 - x 2 )   d x

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