Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 15
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
E aí, galera!
Nessa questão, temos que calcular a integral indefinida
Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo, né? Lá temos que
onde é uma constante qualquer. Mas nesse exercício, temos que o integrando é ao invés de
🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral na integral presente na Tabela. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?
Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usar a fórmula da Tabela.
💡 Vamos relembrar de uma propriedade das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
Temos tudo o que precisamos. Bora lá!
Passo 2
Perceba que se escolhermos
e
então
Além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja
Logo, vale que
ou seja,
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né?
Como relembramos no Passo temos que
Logo,
ou seja, temos que
onde é uma constante qualquer.
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos!
A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
ou seja, a integral do enunciado vale
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.