Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 67
Durante os primeiros 10 dias de dezembro, a célula de uma planta cresceu de tal forma que t dias após o 1º de dezembro o volume da célula estava crescendo a uma taxa de por dia. Se em 3 de dezembro o volume da célula era de , qual seria o volume esperado no dia 8 de dezembro?
Passo 1
Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o volume da célula com o tempo. Como dado no enunciado, o volume da célula cresce de acordo com a fórmula . Nos foi pedido o valor de V(t) no dia 8 de dezembro. Vamos montar nosso problema abaixo.
Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o volume da célula? Através da relação da corrente que nos foi dada!
Agora temos todas as informações para resolver o problema!
Passo 2
Resolvendo a integral temos:
Vamos fazer aqui uma substituição de variáveis. Seja . Derivando dos dois lados temos:
Substituindo na integral:
Passo 3
Uma vez obtida a expressão para o volume da célula, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Aqui temos que prestar atenção no seguinte: no dia primeiro de dezembro foi observada a taxa de crescimento, ou seja, é o nosso tempo inicial t=0. Portanto, para o dia 3 de dezembro, t deverá ser igual a 2! Assim,
Portanto,
Passo 4
O enunciado pede o volume da célula no dia 8 de dezembro, ou seja, quando . Logo,
Resposta
O volume da célula no oitavo dia dezembro é: