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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 2

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ x 4 + x 2 10 d x , u = 4 + x 2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x 4 + x 2 10 d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar

u = 4 + x 2

Na técnica de substituição devemos encontrar a diferencial d u , derivando u com relação a variável x :

d u = u ' d x

Para então substituirmos a diferencial d x da integral original.Bora lá?

Passo 2

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 4 + x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 x   d x

d u = 2 x   d x

Dessa forma, podemos dizer que:

x   d x = 1 2 d u

Vamos agora fazer a substuição:

∫ x 4 + x 2 10 d x = ∫ u 10 1 2 d u = ∫ u 10 2 d u

Agora fica simples de resolver...

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 10 2 d u = 1 2 ∫ u 10 d u

= 1 2 ∙ u 10 + 1 10 + 1

= 1 2 ∙ u 11 11

E não esqueça da constante por se tratar de uma integral indefinida!

= u 11 22 + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 4 + x 2 :

∫ x 4 + x 2 10 d x = ∫ u 10 2 d u

∫ x 4 + x 2 10 d x = u 11 22 + C

∫ x 4 + x 2 10 d x = 4 + x 2 11 22 + C

Resposta

∫ x 4 + x 2 10 d x = 4 + x 2 11 22 + C

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