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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 8

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C s e n   x   d x + cos ⁡ y   d y

C consiste na metade superior da circunferência x 2 + y 2 = 1 de ( 1 ,   0 ) a ( - 1 ,   0 ) e o segmento de reta de ( - 1 ,   0 ) a ( - 1 ,   0 ) e o segmento de reta de ( - 1 ,   0 ) a ( - 2 ,   3 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C s e n   x   d x + cos ⁡ y   d y

Aqui a curva C é composta de duas partes:

Vamos fazer primeiro a integral sobre o círculo:

x = cos ⁡ t ,               y = s e n   t ,               0 ≤ t ≤ π

Assim,

d x = - s e n   t   d t                         e                       d y = cos ⁡ t   d t

Portanto,

I 1 = - ∫ 0 π s e n   cos ⁡ t   s e n   t   d t + ∫ 0 π cos ⁡ ( s e n   t ) cos ⁡ t   d t

Na primeira integral fazemos a substituição u = cos ⁡ t ⇒ d u = - s e n   t   d t . Já na segunda, fazemos u = s e n   t ⇒ d u = cos ⁡ t   d t :

I 1 = ∫ 1 - 1 s e n   u   d u + ∫ 0 0 cos ⁡ u   d u = - cos ⁡ u 1 - 1 + 0

Portanto,

I 1 = - cos ⁡ - 1 + cos ⁡ 1

Mas como cos ⁡ ( - 1 ) = cos ⁡ 1 :

I 1 = 0

Passo 2

Já para reta, usamos

x = t             e             y = - 3 t - 3

Assim,

d x = d t               e             d y = - 3   d t

Logo,

I 2 = ∫ - 1 - 2 s e n   t   d t - 3 ∫ - 1 - 2 cos ⁡ - 3 t - 3   d t

A primeira integral é simples:

∫ - 1 - 2 s e n   t   d t = - cos ⁡ t - 1 - 2 = - cos ⁡ - 2 + cos ⁡ - 1

Como cos ⁡ ( - x ) = cos ⁡ x :

∫ - 1 - 2 s e n   t   d t = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2

A segunda integral pode ser reescrita como

∫ - 1 - 2 cos ⁡ - 3 t - 3   d t = ∫ - 1 - 2 cos ⁡ 3 t + 3   d t

Fazemos agora u = 3 t + 3 ⇒ d t = d u / 3 :

∫ - 1 - 2 cos ⁡ - 3 t - 3   d t = 1 3 ∫ 0 - 3 cos ⁡ u   d u = 1 3 s e n   u 0 - 3 = 1 3 s e n - 3 = - 1 3 s e n   3

Portanto,

I 2 = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2 - 3 ⋅ - 1 3   s e n   3 = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2 + s e n   3

Logo,

I = I 1 + I 2 = 0 + cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2 + s e n   3

Assim,

I = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2 + s e n   3

Resposta

I = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 2 + s e n   3

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