Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]

14.

f x = x 3 ,                     a = - 1

Passo 1

Fala, gente bonita!

Olha só, a questão nos deu uma função e quer que a gente encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor de a , que também nos foi dado.

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

A gente precisa encontrar suas derivadas e encontrar um padrão a elas.

Passo 2

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = - 1

f x = x 3 ⇒ f - 1 = - 1

f ' x = 3 x 2 ⇒ f ' - 1 = 3

f ' ' x = 6 x ⇒ f ' ' - 1 = - 6

f ' ' ' x = 6 ⇒ f ' ' ' - 1 = 6

A partir da quarta derivada, todos os termos são 0 .

Passo 3

Então temos que a série de Taylor para o polinômio x 3 é

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Substituindo f ( n ) e a = - 1 :

f x = - 1 + 3 x + 1 - 6 2 ! x + 1 2 + 6 3 ! x + 1 3

- 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + x + 1 3

Resposta

f x = - 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + x + 1 3

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