Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 14
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
,
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.
O enunciado diz para determinarmos uma função qualquer que necessariamente obedeça a esse critério:
Sendo que é
Depois, ela pede para calcular a integral de linha
Sendo a curva:
Usando a função . Se o campo for conservativo, podemos utilizar ela para resolver a integral assim:
Tudo certo?
Então, antes que qualquer coisa, precisamos verificar se o campo é conservativo ou não!
Mas como saber se ele é conservativo?
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se é:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
Tudo bem, mas por que fazer isso tudo?
Basicamente o que a questão quer mostrar é que em um campo conservativo, a integral de linha não depende do caminho, apenas dos pontos final e inicial.
Portanto, começaremos identificando se o campo é conservativo ou não, depois determinaremos uma função relacionada a ele e finalmente, calcularemos a integral de linhas utilizando as propriedades do campo conservativo!
Tranquilo?
Passo 2
Vamos então verificar se ele é conservativo ou não.
Temos esse campo aqui:
Temos que os componentes e são
Calculando as derivadas mistas, começando pela derivada de em relação à
E a derivada de em relação à :
Comparando as derivadas:
Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.
Passo 3
Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!
Como temos
Que é a mesma coisa que
E
É a mesma coisa que
Logo,
Então vamos integral em relação à para achar !
Como estamos integrando em relação à , vira uma constante:
Aqui,
Essa é uma integral tabelada, você resolve decorando o resultado dela, vai por mim 😅
depende de , pois integramos em relação à ele!
Portanto,
Mas como é uma integral indefinida, precisamos colocar uma constante:
Pense assim: Como integramos apenas em relação à e a nossa função depende de e , precisamos colocar uma constante que dependa da outra variável.
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 4
Legal! Agora vamos determinar .
O próximo passo é derivar a função potencial
em relação à :
Então,
Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Temos o campo
Que podemos escrever assim:
E lembra que
É a mesma coisa que?
Logo,
Nesse caso
Portanto,
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
Onde é uma constante qualquer.
Agora sim! Juntando com o resultado do passo anterior temos a função potencial completa:
Passo 5
Show! Vamos calcular a integral de linha!
Sendo a curva:
Maaaas, como temos um campo conservativo, essa integral só depende dos pontos finais e iniciais!
Perceba que o ponto inicial de é quando e o ponto final é quando . Bora substituir esses valores em !
Para :
Para
Agora vamos substituir esses pontos da nossa função potencial.
Em :
Para :
Beleza! Sabemos que:
Substituindo os valores:
É isso!