Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 13
- Determine uma função tal que e
- Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
Passo 1
Oi galera, tudo bem?
Nessa questão vamos usar o teorema fundamental das integrais de linha, que diz:
Onde , e é uma parametrização de com .
Só que antes disso, precisamos achar quem é esse .
Pra isso, vamos usar que:
Então as componentes de são:
E,
Vamos calcular essas duas integrais e usar para descobrir quem é .
Depois, aplicamos o teorema pra achar o valor da integral de linha.
Passo 2
(a)
Como nosso campo vetorial é
Temos
Integrando em função de , mantendo constante:
Percebe que a constante de integração depende de , porque é considerado constante nessa integral.
Da mesma forma,
Integrando em função de , com constante:
De novo, a constante de integração depende de , porque é constante em função de .
Para achar as constantes:
Se temos que uma função de é igual a uma função de , isso quer dizer que ela é constante.
Podemos escolher um qualquer que essa função vai atender as nossas condições, então para :
Passo 3
(b)
Agora vamos para o teorema:
Mas primeiro precisamos saber quem é e .
Nossa parametrização da curva é:
Então:
E
Passo 4
E finalmente podemos calcular a integral:
Lembrando que:
Então:
Resposta
(a)
(b)