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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 27

Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5   d s , onde C é a parte da astróide x = c o s 3 t   , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

∫ C x 3 y 5   d s

Primeiro nós precisamos saber quem é essa curva, porque vamos precisar dos seus intervalos.

Outra coisa é descobrir quem o d s :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Pela fórmula , vamos precisar fazer a derivada parcial de x ,   y     e   z .

Com essas informações conseguimos começar a resolver a integral, ok?

Bora lá !

Passo 2

Vamos começar pela Curva. Nesse caso, a curva C é dada por

x = c o s 3 t   ,     y = s e n 3 t    

Uma coisa muito importante que ele nos diz no enunciado é que essa curva se encontra no primeiro quadrante, vamos lembrar os limites dos ângulos no primeiro quadrante:

Os ângulos no primeiro quadrante quadrante variam de 0 a π 2 . Logo :

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Já sabemos as informações sobre a curva, agora o próximo passo é descobrir que é :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Vamos começar por d x d t ( c o s 3 ( t ) )     :

Para resolver essa derivada vamos usar a regra da cadeia. Para ficar mais tranquilo de visualizar vamos chamar :

( c o s ( t ) ) = u

Logo a derivada será

d x d t   ( u 3 )   = 3   .   u 3 - 1 . u '  

Substituindo u   = ( c o s ( x ) )     :

d x d t   ( c o s 3 ( t ) )   = 3   .   c o s 3 - 1 ( t ) . c o s ( t ) '  

d x d t   ( c o s 3 ( t ) )   = - 3   .   c o s 2 ( t ) . s e n ( t )  

d x d t = - 3   .   c o s 2 ( t ) . s e n ( t )                    

Show, agora vamos encontrar d y d t ( s e n 3 ( t ) )    

Vamos usar o mesmo método do anterior :

( s e n ( t ) ) = u

A derivada será :

d x d t   ( u 3 )   = 3   .   u 3 - 1 . u '  

Substituindo u   = ( c o s ( x ) )     :

d x d t   ( s e n 3 ( t ) )   = 3   .   s e n 3 - 1 ( t ) . s e n ( t ) '  

d x d t   ( s e n 3 ( t ) )   = 3   .   s e n 2 ( t ) . c o s ( t )  

d x d t = 3   .   s e n 2 ( t ) . c o s ( t )                    

Como não temos a variável z   ,   l o g o   d z d t = 0                    

Passo 4

Beleza, já achamos as derivadas parciais , agora precisamos substituí-las na fórmula .

d s = d x d t 2 + d y d t 2

- 3   .   c o s 2 ( t ) . s e n ( t )   2 + 3   .   s e n 2 ( t ) . c o s ( t )   2  

9   .   c o s 4 ( t ) . s e n ( t ) 2   + 9   .   s e n 4 ( t ) . c o s ( t ) 2    

9   .   c o s 4 ( t ) . s e n ( t ) 2   + 9   .   s e n 4 ( t ) . c o s ( t ) 2    

9   .   c o s 4 ( t ) . s e n ( t ) 2   +   .   s e n 4 ( t ) . c o s ( t ) 2    

3       c o s 4 ( t ) . s e n ( t ) 2   +   s e n 4 ( t ) . c o s ( t ) 2  

Vamos fazer um algebrismo para ajudar a nossa vida:

3       c o s 2 ( t ) . s e n ( t ) 2   .   s e n 2 ( t ) + c o s ( t ) 2  

Lembra da relação fundamental da trigonometria ?

s e n 2 ( t ) + c o s ( t ) 2   = 1

Vamos substituir na raiz:

3       c o s 2 ( t ) . s e n ( t ) 2   .   1

Portanto,

d x d t 2 + d y d t 2 = 3 c o s .   s e n   t dt

Passo 5

Para fechar, precisamos substituir os intervalos de t , o d s , x = c o s 3 t   e y = s e n 3 t . Na integral

∫ C x 3 y 5   d s

Vamos lá?

I = ∫ 0 π 2 ( c o s 3 ( t )   ) 3 . ( s e n 3 ( t ) ) 5   . 3 c o s .   s e n   t   d t

I = ∫ 0 π 2 ( c o s 9 ( t )   ) . ( s e n ( t ) ) 15   . 3 c o s .   s e n   t   d t

I = ∫ 0 π 2 3   ( c o s 10 ( t )   ) . ( s e n ( t ) ) 16   d t

I = 3   ∫ 0 π 2   ( c o s 10 ( t )   ) . ( s e n ( t ) ) 16   d t

Essa é uma integral bem chatinha de fazer, por isso vou usar um software para resolver. Você pode usar o Wolfram Alpha ou até mesmo a sua calculadora.

Para você ter uma ideia de como a primitiva é feia:

Usando a calculadora gráfica:

I = 945 π 16777216

Resposta

I = 945 π 16777216

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4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Ondec. Fx , y = y + 3 x , 2 y - x e C é a elipse 4 x 2 + y 2 = 4 , percorrida no sentido anti-horario
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