Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 23
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada .
é a parte da esfera no primeiro octante com orientação para a origem.
Passo 1
Fala, galera! Numa boa?
A questão quer a integral de superfície:
Para o campo vetorial:
Onde é a parte da esfera
no primeiro octante com orientação para a origem.
Para encontrar a integral de superfície de um campo vetorial, precisamos da equação:
Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:
Onde é nosso campo dado no enunciado e e são as derivadas parciais do vetor , composto pela parametrização da nossa superfície:
E:
Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar parametrizando nossa superfície. Nesse caso, é a parte da esfera
no primeiro octante. Assim, fazemos a parametrização utilizando coordenadas esféricas, que tem as seguintes relações:
Como a equação da esfera é:
Vemos que nosso raio da esfera é , então nossa parametrização fica:
E assim achamos nosso vetor das equações parametrizadas:
Como estamos no primeiro octante, temos somente da esfera no plano em metade da esfera em relação ao eixo , somente na parte positiva, então:
Passo 3
Agora temos que calcular os vetores e . Calculando as derivadas parciais de:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
Ficamos com:
Ficamos com:
Agora fazemos o produto vetorial de por :
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Note que nesse caso aponta para dentro da esfera, já que o enunciado diz que os vetores apontam pra origem. Como nossa convenção determina que eles devem apontar para fora, vamos inverter o sinal de :
Agora falta acharmos o valor de:
que é nossa função do campo:
Substituindo pelas componentes de:
Ficamos com:
Passo 4
No nosso caso, teremos:
Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:
Os dois últimos termos são opostos e irão se anular, então:
Podemos então montar nossa integral dupla. Lembrando que para coordenadas esféricas:
E aqui temos:
Portanto, substituímos os limites de e de que estabelecemos no passo 2, ficamos com:
Passo 5
Ufa! Agora vamos precisar calcular nossa integral dupla:
Como as integrais são independentes, separamos cada uma com suas respectivas variáveis:
Para a segunda integral:
Reescrevemos:
Substituindo e integrando:
Logo, aplicando os limites de integração:
Já para a outra integral:
Substituindo:
Temos:
Fazendo uma substituição, chamamos
Derivando :
Nossos limites de integração também mudam:
Então:
Integrando em e aplicando os limites de integração:
Logo, substituindo em:
Temos: