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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 23

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x i ^ - z j ^ + y k ^ ,

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante com orientação para a origem.

Passo 1

Fala, galera! Numa boa?

A questão quer a integral de superfície:

∫ ∫ S F → ⋅ d S →

Para o campo vetorial:

F → x , y , z = x i ^ - z j ^ + y k ^

Onde S é a parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

no primeiro octante com orientação para a origem.

Para encontrar a integral de superfície de um campo vetorial, precisamos da equação:

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F ⋅ r u × r v d A

Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:

F ⋅ r u × r v

Onde F é nosso campo dado no enunciado e r u e r v são as derivadas parciais do vetor r , composto pela parametrização da nossa superfície:

r u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar parametrizando nossa superfície. Nesse caso, S é a parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

no primeiro octante. Assim, fazemos a parametrização utilizando coordenadas esféricas, que tem as seguintes relações:

x = ρ   s e n   ϕ cos ⁡ θ

    y = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ

    z = ρ cos ⁡ ϕ

Como a equação da esfera é:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Vemos que nosso raio da esfera é ρ = 2 , então nossa parametrização fica:

x = 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ

    y = 2   s e n   ϕ   s e n   θ

    z = 2 cos ⁡ ϕ

E assim achamos nosso vetor das equações parametrizadas:

r = ( 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ , 2   s e n   ϕ   s e n   θ , 2 cos ⁡ ϕ )

Como estamos no primeiro octante, temos somente 1 \ 4 da esfera no plano em metade da esfera em relação ao eixo z , somente na parte positiva, então:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

  0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora temos que calcular os vetores r → θ e r → ϕ . Calculando as derivadas parciais de:

r = ( 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ , 2   s e n   ϕ   s e n   θ , 2 cos ⁡ ϕ )

  • Derivada em relação a θ , tratando ϕ como constante:

    • r → θ = ∂ 2   s e n   ϕ cos ⁡ �� ∂ θ ,   ∂ 2   s e n   ϕ   s e n   θ ∂ θ ,   ∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ

    Ficamos com:

    r → θ = ( - 2 s e n ϕ   s e n θ , 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 0 )

  • Derivada em relação a ϕ , tratando θ como constante:

    • r → ϕ = ∂ 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ∂ ϕ ,   ∂ 2   s e n   ϕ   s e n   θ ∂ ϕ ,   ∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

    Ficamos com:

    r → ϕ = 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 cos ⁡ ϕ s e n θ , - 2 s e n ϕ

    Agora fazemos o produto vetorial de r → θ por r → ϕ :

    r → θ × r → ϕ = i ^ j ^ k ^ - 2 s e n ϕ   s e n θ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ 0 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ s e n θ - 2 s e n ϕ

    Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

    r → θ × r → ϕ = ( s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ ,   cos ⁡ ϕ )

    Note que nesse caso r → θ × r → ϕ aponta para dentro da esfera, já que o enunciado diz que os vetores apontam pra origem. Como nossa convenção determina que eles devem apontar para fora, vamos inverter o sinal de   r → θ × r → ϕ :

    r → θ × r → ϕ = ( - s e n   ϕ cos ⁡ θ , -   s e n   ϕ   s e n   θ ,   - cos ⁡ ϕ )

    Agora falta acharmos o valor de:

    F r θ , ϕ

    que é nossa função do campo:

    F → x , y , z = x i ^ - z j ^ + y k ^

    Substituindo pelas componentes de:

    r = ( 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ , 2   s e n   ϕ   s e n   θ , 2 cos ⁡ ϕ )

    Ficamos com:

    F → = 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   - 2 cos ⁡ ϕ ,   2   s e n   ϕ   s e n   θ

    Passo 4

    ∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r θ , ϕ ⋅ r θ × r ϕ d A

    No nosso caso, teremos:

    ∬ S F r θ , ϕ ⋅ r θ × r ϕ d A =

    ∬ S 2   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   - 2 cos ⁡ ϕ ,   2   s e n   ϕ   s e n   θ ⋅ ( - s e n   ϕ cos ⁡ θ , -   s e n   ϕ   s e n   θ ,   - cos ⁡ ϕ ) d A

    Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:

    F r θ , ϕ ⋅ r θ × r ϕ = - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ - 2   s e n   ϕ   s e n   θ cos ⁡ ϕ + 2   s e n   ϕ   s e n   θ cos ⁡ ϕ

    Os dois últimos termos são opostos e irão se anular, então:

    F r θ , ϕ ⋅ r θ × r ϕ = - 2 �� s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ

    Podemos então montar nossa integral dupla. Lembrando que para coordenadas esféricas:

    d A = ρ 2   s e n ϕ   d ϕ   d θ

    E aqui temos:

    ρ = 2

    Portanto, substituímos os limites de θ e de ϕ que estabelecemos no passo 2, ficamos com:

    ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ ⋅ 4   s e n   ϕ   d ϕ   d θ

    Passo 5

    Ufa! Agora vamos precisar calcular nossa integral dupla:

    I = ∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 �� / 2 - 2   s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ ⋅ 4   s e n   ϕ   d ϕ   d θ

    Como as integrais são independentes, separamos cada uma com suas respectivas variáveis:

    ∫ ∫ S F → ⋅ d S → = - 8   ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ   ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

    Para a segunda integral:

    ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

    Reescrevemos:

    cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

    Substituindo e integrando:

    = 1 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 π / 2

    Logo, aplicando os limites de integração:

    ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 2 ⋅ π 2 = π 4

    Já para a outra integral:

    ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π 2 s e n 2 ϕ ⋅ s e n   ϕ   d ϕ

    Substituindo:

    s e n 2 ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ

    Temos:

    ∫ 0 π 2 1 - cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

    Fazendo uma substituição, chamamos

    t = cos ⁡ ϕ

    Derivando t :

    d t = - s e n   ϕ   d ϕ

    Nossos limites de integração também mudam:

  • ϕ = π 2

    • t = cos ⁡ π 2 = 0

  • ϕ = 0

t = cos ⁡ 0 = 1

Então:

∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ = - ∫ 1 0 1 - t 2   d t

Integrando em t e aplicando os limites de integração:

= t 3 3 - t 0 1 = 1 3 - 1 = - 2 3

Logo, substituindo em:

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = - 8   ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ   ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Temos:

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = - 8 ⋅ - 2 3 ⋅ π 4 = 4 π 3

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = 4 π 3

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