Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 44
A água do mar tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .
Passo 1
Oiii, galera! Tudo bem?
A questão quer a vazão de água do mar saindo do hemisfério (metade de esfera)
Onde a densidade da água do mar é:
E o escoamento se dá em um campo de velocidade:
A vazão será calculada por:
Onde:
Então, vamos precisar parametrizar nosso hemisfério para obtermos o vetor composto pelas variáveis parametrizadas. Depois fazermos as derivadas parciais desse vetor e o produto vetorial entre elas. No final aplicamos o produto escalar:
E resolvemos nossa integral dupla!
Passo 2
Então, aqui temos duas regiões a considerar: a vazão para fora do hemisfério e também para fora do disco , que é o fundo da nosso hemisfério. Vamos por partes? Primeiro olhando o hemisfério:
Vamos procurar uma parametrização para nossa superfície, que é a de metade da esfera
Como o enunciado traz que , sabemos que essa é a metade positiva da esfera. Como estamos lidando com uma esfera, podemos usar equações de coordenadas esféricas:
Como a equação da esfera é:
Vemos que nosso raio da esfera é , então nossa parametrização fica:
Sendo assim, o vetor é:
Aqui estamos parametrizando nossa semi esfera em função de e as variações desses valores são:
Passo 3
Agora temos que calcular os vetores e . Calculando as derivadas parciais de:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
Ficamos com:
Ficamos com:
E o produto vetorial entre eles é:
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Passo 4
Agora calculamos nosso termo :
Temos que:
E:
Vamos substituir nossos parâmetros em :
Ficamos com:
Dessa forma a fórmula da vazão será:
Vamos agora fazer o produto escalar entre e :
Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:
Substituindo na nossa integral:
Passo 5
Relembrando os limites de integração que achamos no passo 2:
E como estamos lidando com coordenadas esféricas:
Então, temos finalmente:
Separando cada integral com suas variáveis de integração:
E agora temos duas integrais pra resolver. Olhando numa tabela de integrais temos:
Passo 6
Vamos ver agora para a região do plano , com
O vetor normal à região é , já que é um vetor unitário, com componente em , apontando para baixo. Então o produto escalar entre e é:
Então o integrando de é zero, portando a vazão aqui é zero.
Resgatando a integral do passo e temos: