Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 22

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x   i + y   j + z 4   k  

S é a parte do cone z = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 1 , com orientação para baixo.

Passo 1

E aí, galera! De boa?

A questão quer a integral de superfície

∫ ∫ S   F ∙ d S

Para o campo vetorial

F x ,   y ,   z = x   i + y   j + z 4   k  

E superfície onde S é a parte do cone

z = x 2 + y 2

abaixo do plano

z = 1

com orientação para baixo.

Galera, aqui temos:

z = g x ,   y = x 2 + y 2

e então podemos usar a seguinte f��rmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para baixo:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A

onde

F = P   i + Q   j + R   k

Então P , Q e R são componentes da função F .

Então, primeiro vamos achar as derivadas parciais e os termos da nossa integral. Depois vamos analisar nossa região D pra de lá tirar os limites de integração da nossa integral dupla. Depois, é só calcular a integral de dentro pra fora, como já sabemos!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos encontrar nossas derivadas parciais:

z = g x ,   y = x 2 + y 2

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ g ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x = x x 2 + y 2

  • Derivando em y , tratando x como constante:

∂ g ∂ y = ∂ x 2 + y 2   ∂ y = y x 2 + y 2

Como nossa função campo é:

F = P   i + Q   j + R   k = x   i + y   j + z 4   k .

Suas componentes são:

P = x

Q = y

R = z 4

Então, nossa equação fica:

∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A = ∫ ∫ D x x x 2 + y 2 + y y x 2 + y 2 - z 4 d A

Somando os termos e simplificando:

∫ ∫ D x 2 + y 2 x 2 + y 2 - z 4 d A = ∫ ∫ D x 2 + y 2 - z 4 d A

Passo 3

Bom, ainda faltam nossos limites de integração. Como restrição para nossa região o enunciado traz:

z = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 1

Então, vamos entender a interseção do cone e do plano, igualando as duas equações:

1 = x 2 + y 2

Elevando tudo ao quadrado para eliminarmos a raiz:

1 2 = x 2 + y 2

Então, a região de integração é a circunferência de raio 1 . Como estamos lidando com uma região circular, vamos usar coordenadas polares para descrevermos nossa integral dupla:

x = r   c o s θ  

y = r   s e n θ

z = r

x 2 + y 2 = r 2

Substituindo e não esquecendo de multiplicas pelo Jacobiano, que neste caso será igual a:

d A = r   d r   d θ

Ficamos com:

∫ ∫ D x 2 + y 2 - z 4 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 4 r   d r   d θ

Separando as integrais:

∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 1 r - r 4 r   d r

Integrando em θ , já aplicando os limites e integrando em r :

= 2 π r 3 3 - r 6 6 0 1

Agora aplicando os limites em r :

∫ ∫ S   F ∙ d S = 2 π 1 3 - 1 6 = π 3

Resposta

∫ ∫ S   F ∙ d S = π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori