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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 67

75. Considere a série

∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 !

  1. Calcule as somas parciais s 1 ,   s 2 ,   s 3 e s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .
  2. Use indução matemática para mostrar sua conjectura.
  3. Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma.

Passo 1

Antes de começar, vamos fazer uma correção no enunciado. Onde ele diz 1 n + 1 ! , na verdade é n n + 1 ! . Beleza? Então vamos para questão!

O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n n + 1 !

E pediu primeiro para acharmos as primeiras 4 somas parciais. Como assim? Soma parcial s n é a soma dos n primeiros termos de uma série! Então para achar a s 3 , por exemplo, precisamos encontrar os três primeiros termos (variando n de 1 até 3) e somando!

Depois disso pede para achar uma conjectura: verificar se a partir das primeiras somas podemos inferir uma expressão que dê a soma para qualquer número de termos, só observando o padrão

E por fim pediu para por indução mostrarmos a conjectura e mostrar que a série é convergente e sendo assim, achar a soma! A soma só podemos achar se olharmos para n → ∞ no padrão da soma!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

a) Inicialmente, vamos calcular as somas parciais.

∑ n = 1 ∞ n n + 1 !

Então, para s 1 teremos o seguinte:

s 1 = ∑ n = 1 1 n n + 1 !

Assim,

s 1 = 1 2

Agora vamos ver para s 2 :

s 2 = ∑ n = 1 2 1 n + 1 !

Logo,

s 2 = 1 2 ! + 2 3 ! = 1 2 + 2 6

Fazendo as contas:

s 2 = 5 6

Tranquillo?

Passo 3

Para s 3 :

s 3 = ∑ n = 1 3 1 n + 1 !

Logo,

s 3 = 1 2 ! + 2 3 ! + 3 4 ! = 1 2 + 2 6 + 3 24

Fazendo as contas:

s 3 = 23 24

Por fim, vamos calcular o s 4 .

s 4 = ∑ n = 1 4 1 n + 1 !

Logo,

s 4 = 1 2 ! + 2 3 ! + 3 4 ! + 4 5 ! = 1 2 + 2 6 + 3 24 + 4 120

Fazendo as contas:

s 4 = 1 19 120

Agora que já calculamos as somas parciais, vamos dar uma olhadinha para tentar conjecturar uma fórmula.

s 1 = 1 2       s 2 = 5 6         s 3 = 23 24       s 4 = 1 19 120

Olhando as somas parciais, o numerador é o denominador menos um. Já podemos ver que os denominadores são o fatorial de um número. Vem comigo!

Olhando para os denominadores:

s 1 →   2 = 2 !

s 2 →   6 = 3 !

s 3 →   24 = 4 !

s 4 →   120 = 5 !

Então, para s n podemos conjecturar o seguinte:

s n = n + 1 ! - 1 n + 1 !

Passo 4

Agora vamos usar indução para provar a soma da nossa série.

Para n = 1 :

s 1 = 1 + 1 ! - 1 1 + 1 ! = 2 ! - 1 2 !

Logo,

s 1 = 1 2

o que é verdade, pois achamos no item a) que s 1 = 1 2

Suponha válido para n = k :

s k = k + 1 ! - 1 k + 1 !

Para n = k + 1 :

s k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 ! + s k

Usando a hipótese de indução:

s k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 ! + k + 1 ! - 1 k + 1 !

Arrumando as coisas, temos:

s k + 1 = k + 1 k + 2 ! + k + 1 ! - 1 k + 1 !

Multiplicando o segundo termo por k + 2 em cima e embaixo:

s k + 1 = k + 1 k + 2 ! + k + 1 ! - 1 k + 1 ! × k + 2 k + 2

Assim,

s k + 1 = k + 1 k + 2 ! + k + 2 ! - ( k + 2 ) k + 2 !

Logo,

s k + 1 = k + 1 + k + 2 ! - k + 2 k + 2 !

Portanto,

s k + 1 = k + 2 ! - 1 k + 2 !

O que prova a nossa conjectura!

Passo 5

Pra finalizar, vamos encontrar a seguinte soma:

S = ∑ n = 1 ∞ n n + 1 !

Logo,

S = lim n → ∞ ⁡ s n

Mas já encontramos s n :

s n = n + 1 ! - 1 n + 1 !

Assim,

S = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! - 1 n + 1 !

Repare que quando n → ∞ n + 1 ! Fica muito maior que 1 . Dessa maneira, podemos despreza-lo.

S = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 ! = lim n → ∞ ⁡ 1

Por fim,

S = 1

Resposta

a)

s 1 = 1 2       s 2 = 5 6         s 3 = 23 24       s 4 = 123 120

c)

S = 1

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