Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 19

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x y   i + y z   j + z x   k   ,

S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 , com orientação para cima.

Passo 1

Faaaala turma, beleza!?

Nosso objetivo e calcular o fluxo de F através da superfície S.

∫ ∫ S   F ∙ d S

Onde,

F x ,   y ,   z = x y   i + y z   j + z x   k   ,

S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 , com orientação para cima.

Vamos com calma agora, e lembrar de algumas formulas. Beleza!?

Dado um campo:

F x ,   y ,   z = P   i + Q   j + R   k  

E como nossa superfície é z = g x ,   y = 4 - x 2 - y 2 , podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

onde F = P   i + Q   j + R   k = x y   i + y z   j + z x   k .

Observe que só precisamos calcular as derivadas de g em relação a x e y , e substituir os demais termos.

Para os limites de integração, já temos do enunciado que é:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Então, bora colocar mão na massa!

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais, certo! Sabemos que:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

E que:

z = g x ,   y = 4 - x 2 - y 2

Também sabemos que F é igual a:

F = P   i + Q   j + R   k = x y   i + y z   j + z x   k

Substituindo na integral, ficamos com:

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

∫ ∫ D - x y - 2 x - y z - 2 y + z x d A

∫ ∫ D 2 x 2 y + 2 y 2 z + z x d A

Além disso, D será o quadrado:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

E devemos substituir z = 4 - x 2 - y 2

Passo 3

Substituindo os limites de integração e a expressão z , vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 1 [ 2 x 2 y + 2 y 2 4 - x 2 - y 2 + x 4 - x 2 - y 2 ]   d y   d x

Vamos dar uma simplificada, e o que nos resta depois disso é só fazer conta pra calcular a integral dupla. Simplificando temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 [ 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 x 2 y 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 ]   d y   d x

Integrando em d y , vamos ter:

∫ 0 1 2 x 2 y 2 2 + 8 y 3 3 - 2 x 2 y 3 3 - 2 y 5 5 + 4 x y - y x 3 - x y 3 3 0 1 d x

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

∫ 0 1 x 2 3 + 11 x 3 - x 3 + 34 15 d x

Integrando em d x , vamos ter:

x 3 9 + 11 x 2 6 - x 4 4 + 34 x 15 0 1

Aplicando os limites de integração, vamos ficar com:

1 9 + 11 6 - 1 4 + 34 15

Por fim, obtemos como resposta:

∫ ∫ S   F ∙ d S = 713 180

Resposta

∫ ∫ S   F ∙ d S = 713 180

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um fluido tem densidade 870 k g / c m 3 e escoa com velocidade v → = z i → + y 2 j → + x 2 k → , onde x , y , z são medidos em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro x ² + y ² = 4
Use a lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x 2 + y ² + z ² ≤ a 2 ,z ≥ 0 ² ² , se o campo elétrico for E → x , y , z = x i → + y j → + 2 z k →
Seja F → um campo inverso do quadrado, ou seja F → r = c r → / | r → | ³ ³ para alguma constante c , onde r = x i → + y j → + z k → . Mostre que o fluxo de F → por uma esfera S com centro na origem é
Use a lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com vértices ( ± 1 ,± 1 , ± 1 ) se o campo elétrico for E → x , y , z = x i → + y j → + z k →
Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F → através de S . Para superfícies fechadas, use a