Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x y   d S

S é a região triangular com vértices 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .

Passo 1

E aí, minha gente! Beleza?

A questão quer o valor da integral:

∫ ∫ S   x y   d S

Onde S é a região triangular com vértices 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .

Bom, para isso podemos usar a equação:

∫ ∫ S   x y   d S = ∫ ∫ D   x y 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função z , que vamos achar usando os vértices que o enunciado apresentou. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla e resolver nossa integral.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar achar nossa superfície descrita pelo enunciado:

S é a região triangular com vértices 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2

Galera, aqui S vai ser a região do plano

z = 2 - 2 x - y

Sobre

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 2 - 2 x }

Onde D é a projeção no plano x y dessa nossa superfície.

Então, agora que achamos nossa função z , vamos calcular suas derivadas parciais

  • Derivada em x , tratando y como constante:
  • ∂ z ∂ x = ∂ 2 - 2 x - y ∂ x = - 2

  • Derivada em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = ∂ 2 - 2 x - y ∂ y = - 1

Substituindo na nossa integral:

∫ ∫ S   x y   d S = ∫ ∫ D   x y 1 + - 2 2 + - 1 2   d A = ∫ ∫ D   6   x y   d A

Passo 3

Agora vamos achar nossos limites de integração. Como estamos trabalhando na região D no plano x y , temos:

d A = d x   d y

Como vimos na descrição da região D que a gente conseguiu pelo gráfico:

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 2 - 2 x }

Nossos limites de integração, são:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 6   x y   d y   d x

Como a integral de y tem funções nos seus limites de integração, deixamos ela por dentro.

Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 6   x y   d y   d x

Começando por dentro em y , tratando x como constante:

= ∫ 0 1 6 x y 2 2 0 2 - 2 x d x

Aplicando os limites de integração em y :

∫ 0 1 6 2 x - 4 x 2 + 2 x 3   d x

Podemos finalmente integrar em x :

= 6 x 2 - 4 x 3 3 + x 4 2 0 1

Aplicando os limites:

∫ ∫ S   x y   d S = 6 1 - 4 3 + 1 2 = 6 6

Resposta

∫ ∫ S   x y   d S = 6 6

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