Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 6
Calcule a integral de superfície.
é a região triangular com vértices e
Passo 1
E aí, minha gente! Beleza?
A questão quer o valor da integral:
Onde é a região triangular com vértices e
Bom, para isso podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função , que vamos achar usando os vértices que o enunciado apresentou. Daí, é só escrevermos nossa região como uma integral dupla e resolver nossa integral.
Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar achar nossa superfície descrita pelo enunciado:
é a região triangular com vértices e
Galera, aqui vai ser a região do plano
Sobre
Onde é a projeção no plano dessa nossa superfície.
Então, agora que achamos nossa função , vamos calcular suas derivadas parciais
- Derivada em , tratando como constante:
- Derivada em , tratando como constante:
Substituindo na nossa integral:
Passo 3
Agora vamos achar nossos limites de integração. Como estamos trabalhando na região no plano , temos:
Como vimos na descrição da região que a gente conseguiu pelo gráfico:
Nossos limites de integração, são:
Como a integral de tem funções nos seus limites de integração, deixamos ela por dentro.
Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:
Começando por dentro em , tratando como constante:
Aplicando os limites de integração em :
Podemos finalmente integrar em :
Aplicando os limites: