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Exercícios de Caso Escalar - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Determine a massa da superfície S dada por z = x 2 + y 2 + 2 x y limitada por x 2 + y 2 = 2 , sabendo que a densidade é dada por δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z .

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Questão 2

Calcule a área da parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 contida no interior do cilindro x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 .

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Questão 3

Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando σ no

  1. Plano x y
  2. Plano x z  
  3. Plano y z

∬ σ x y z d S

Onde σ é a porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 no primeiro octante.

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Questão 4

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que se encontra entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

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Questão 5

Calcule a área da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .

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Questão 6

Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

∬ σ x 2 y d S

Onde σ é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 9 2 no primeiro octante entre os planos x = 0 , x = 9 , z = y e z = 2 y

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Questão 7

Calcule a integral de superfície

∬ S   x 2 z d S

Sobre cilindro S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1,0 ≤ z ≤ 1 .

(Dica: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 )

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Questão 8

Questão 1) Calcular a área da parte da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 6 z que está dentro da região x 2 + y 2 ≤ z .

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Questão 9

Calcule a integral de superfície ∬ S   x 2 + z 2 d S , onde S é a parte do elipsóide x 2 2 + y 2 3 + z 2 2 = 1 contida no semi-espaço y ≥ 0 .

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Questão 10

Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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Questão 11

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que se encontra entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

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Questão 12

Encontre a área da superfície z = 1 + 3 x + 3 y 2 que está acima do triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 0,1 ) e ( 2,1 ) .

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Questão 13

Calcule a área da superfície S do semicone

z = x 2 + y 2

Contida no interior do elipsoide:

x 2 2 + y 2 4 + z 2 = 1

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Questão 14

Calcule a integral de superfície escalar:

∬ S   5 x y   d S

Sendo S a porção do cilindro:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Contida no primeiro octante, limitada superiormente por:

z = 6 x 2 + y 2

E inferiormente por:

z = x 2 + y 2

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Questão 15

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ) .

  1. Ache uma parametrização para S .
  2. Calcule a área de S .

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Questão 16

Calcule a integral de superfície

∫ ∫ S y z d S

S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

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Questão 17

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 + y ² d s

onde S é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 , que está situada acima do plano z = 0 .

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Questão 18

Dada a função f :   C →   C , f z = e z é correto afirmar:

  1. ∫ f z d z = 2 π i para C dado por z = 1
  2. f é analítica
  3. d f z d z = e z
  4. ∫ z 1 z 2 f z d z   = e z 2 - e z 1
  5. ∫ f ( z ) d z = 0 para o caminho fechado C.

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Questão 19

Assinale a única alternativa correta sobre a função f z = e z - 1 z 2

  1. R e s z = 0 f z = 0
  2. R e s z = 1 f z = 1 2
  3. R e s z = 1 f z = 1
  4. R e s z = 0 f z = 1
  5. R e s z = 0 f z = 1 / 2

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Questão 20

Calcule a integral de superfície abaixo

∬ S   x + z y + 1 2 d S ,

Onde S é a porção do cone y + 1 2 = x 2 + z 2 acima do plano z = 0 e limitada entre os planos y = 0 e y = 3 .

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Questão 21

Sobre a seria complexa ∑ n = 0 ∞ z n é correto afirmar:

  1. A serie converge se z < 1 .
  2. A serie converge se z = 1 .
  3. A serie não converge absolutamente para nenhum ponto.
  4. A soma da série é 1 1 - z
  5. A serie diverge se z   > 1

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Questão 22

Sobre os números complexos é correto afirmar:

  1. Se z 1 > | z 2 | e arg ⁡ z 1 > arg ⁡ z 2 então z 1 > z 2
  2. É um conjunto comutativo com relação à adição e à multiplicação.
  3. Todo numero complexo possui um inverso
  4. Todo numero complexo possui pelo menos uma raiz quadrada
  5. Todo número complexo possui um conjugado

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Questão 23

Calcule a integral de superfície

∬ x z d S

onde S é o limite da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5 .

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Questão 24

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

  1. O campo vetorial

    2. F → =   - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

    é um campo vetorial conservativo com função potencial f x , y = a r c t a n ⁡ ( y x ) .

  2. A área da parte superior z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3 , é 14 π 3 .

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Questão 25

Calcule a massa da superfície S onde S = x , y , z ∈ R x 2 + y 2 = 1 ,   1 ≤ z ≤ 4 } , com densidade pontual de massa δ x , y , z = z 1 + 5 z 2 - 3 / 2 .

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Questão 26

Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico y = x 2 - z 2 que está entre os cilindros x 2 + z 2 = 1   e   x 2 + z 2 = 4 .

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Questão 27

Seja S a superfície de rotação obtida girando C = x , y , 0 ∈ R 3 ; x = ln ⁡ y ,   3 ≤ y ≤ 8 em torno do eixo x . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo x .

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Questão 28

14) Seja S a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encontra dentro do paraboloide

z = x 2 + y 2 3

Calcule a massa de S sabendo que a densidade de massa em cada ponto x ,   y ,   z ∈ S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

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Questão 29

13) Seja S a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente pelo plano z = 1 . Se a densidade de massa é dada por ρ x ,   y ,   z = z , calcule a massa de S .

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Questão 30

4) Calcule a área das superfícies:

a) S :   porção do plano x + 2 y + z = 4 , que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

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Questão 31

3) Calcule a área da superfície dada por r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2 , com u ,   v ∈ D : u 2 + v 2 ≤ 4 .

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Questão 32

4) Calcule a área das superfícies:

f) S : superfície gerada pela rotação do segmento de reta A B , A = 0 ,   1 ,   3 , B = 0 ,   3 ,   1 em torno do eixo z .

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Questão 33

4) Calcule a área das superfícies:

g) S : parte da superfície z = x 2 + y 2 , compreendida entre os planos x + y = 1 , x + y = 2 , x = 0 e y = 0 .

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Questão 34

11) Calcule a massa da superfície S parte do plano z = 2 - x dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , sendo a densidade dada por ρ x ,   y ,   z = y 2 .

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Questão 35

4) Calcule a área das superfícies:

e) S : superfície gerada pela rotação do conjunto C = 0 , y ,   z ∈ R 3 ; y - 2 2 + z 2 = 1 em torno do eixo z .

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Questão 36

Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície de equação z = 1 - x 2 , compreendida entre os planos y = 0 e z = 0 e o cilindro z = 1 - y 2 ,   y ≥ 0 . Se o metro quadrado do zinco custa R reais, calcule o preço total da peça.

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Questão 37

9) Calcule

∬ S   f x ,   y , z   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 y 2 e S é a porção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , no primeiro octante, entre os planos z = y e z = 2 y .

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Questão 38

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z   d S

Onde

h) f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 e S : x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com z ≥ 1 .

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Questão 39

12) Seja S a porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 , com z ≥ 0 , limitada pelo plano x + y + z = 1 e pelo plano z = 0 . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

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Questão 40

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

c) f x ,   y ,   z = x e S é a região retangular com vértices 1 ,   0 ,   0 , 0 ,   1 ,   0 e 0 ,   0 ,   1 .

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Questão 41

13) Seja S a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente pelo plano z = 1 . Se a densidade de massa é dada por ρ x ,   y ,   z = z , calcule a massa de S .

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Questão 42

Seja S a superfície definida pela parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

  1. Determine uma parametrização para a superfície S juntamente com o domínio D da parametrização.
  2. Parametrize o bordo da superfície.
  3. Use a parametrização para explicitar o elemento de área de superfície.
  4. Calcule a integral

∬ S z d S

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Questão 43

Considere o cone z 2 = x 2 + y 2 .

a) Calcule a área da parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra no primeiro octante (ou seja, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ) e abaixo do plano z = 2 .

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Questão 44

Calcule a integral de superfície

∬ S z + x 2 y d S

onde S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que esta entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

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Questão 45

Seja S a esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 com densidade superficial δ x , y , z = x 2 . A massa de S é igual a:

a) 2 π 3

b) π 3

c) 4 π 3  

d) 16 π 3

e) 8 π 3

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Questão 46

Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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Questão 47

Considere a superfície parametrizada

r t ,   θ = t + 1 ,   t sen ⁡ θ ,   t cos ⁡ θ ,                   t ∈ 1 ,   2 ,   θ ∈ 0 ,   π ,

Cuja imagem denotaremos por S .

  1. Calcule uma equação implícita para S .
  2. Faça um esboço de S .
  3. É r uma superfície parametrizada regular ou não? Justifique a resposta.
  4. Calcule a equação implícita do plano tangente a S no ponto r 3 2 , π 2 .
  5. Calcule a integral de superfície

∬ S   6 x + π z d S

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Questão 48

Considere S a superfície parametrizada por

r → u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u

Com 1 ≤ u ≤ 3 e 0 ≤ v ≤ 2 π

(a) Determine o vetor normal unitário de S no ponto P 0 = 1 , 3 , 2 de S que aponta para cima

(b) Calcule a área de S .

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Questão 49

Calcule ∬ S 1 + x 2 + y 2 d S , sendo S a parte de uma superfície parametrizada por

r u , v = u cos ⁡ v i → + u sen ⁡ v j → + v k →

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π

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Questão 50

Considere a parte ∑ do cilindro x 2 4 + y 2 = 1 que fica na intersecção das regiões x ≥ 0 , y ≥ 0 , e - y ≤ z ≤ y .

  1. Determine uma parametrização de ∑ , especificando o domínio de definição da parametrização.
  2. Calcule a integral de superfície ∬ ∑ 3 x   d S .

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Questão 51

Considere a parte S da superfície z = 2 x y   que fica embaixo da superfície x - y 2 + z = 1 , isto é, S = x , y , z |   2 x y = z     c o m   z ≤ 1 - x - y 2 .

  1. Determine uma parametrização de S , especificando o domínio de definição da parametrização.
  2. Calcule a área da superfície S .

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Questão 52

(2) O valor da integral da função escalar f x ,   y ,   z = z sobre a superfície S = x ,   y ,   z ∈ R 3 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   z 2 + y 2 = 1 ,   z ≥ 0 é:

  1. 4
  2. 1
  3. - 1
  4. 4 / 3
  5. 8

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Questão 53

Calcule ∬ S   17 - 4 z d S onde S é a parte da superfície z = 4 - x 2 - y 2 limitada por z = 2 y + 1 .

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Questão 54

Questão 1 :

a) Seja S a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = 9 com z ≥ 0 . Calcule a massa de S sendo a densidade δ x ,   y ,   z = z 3 .

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Questão 55

Questão 3) Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x 2 + 2 y 2 que se encontra dentro do cilindro 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 1 .

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Questão 56

Questão 2) Calcule a integral de superfície

∬ S   x y z   d S

onde S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

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Questão 57

Questão 1) Seja S a superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cone

z = x 2 + y 2 3

  1. Esboce a superfície S .
  2. Parametrize a superfície.
  3. Determine o vetor unitário no ponto 0 ,   2 ,   2 que aponta para baixo.
  4. Calcule a área de S .

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Questão 58

Questão 4: Considere o corpo sólido Q no interior do cilindro x - 1 2 + y 2 = 1 , limitado por cima e por baixo pelo cone 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 0 . Calcule a área de superfície de Q .

Sugestão: Evite a parametrização do cilindro como superfície de revolução com eixo deslocado!

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Questão 59

Questão 1: Seja a superfície parametrizada

r t ,   θ = 1 + t cos ⁡ θ ,   1 + t sin ⁡ θ ,   t 2 ,     t ,   θ ∈ 0 ,   2 × - π 4 , π 4

  1. Faça um esboço da imagem de r .
  2. Justifique se a imagem de r é uma superfície regular ou não.
  3. Calcule a equação implícita do plano tangente em 1 ,   0 .
  4. Calcule

∬ r   12 z x 2 + y 2 d S

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Questão 60

Seja S a parte da superfície de equação   z = x + y 2 acima do triangulo de vértices (0,0), (1,1), (0,1).

(2.1) Encontre uma parametrização para S e determine o elemento de superfície dS de S. Explicite o domínio da parametrização em termos das coordenadas.

(2.2)Calcule a integral de superfície.

∬ S x z   d S

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Questão 61

Calcule a área da superfície dada pela equação 2 y + z = x 2 + y 2 + 1 com y ≥ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 .

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Questão 62

4) Calcule a área das superfícies:

h) S parte do cone z = x 2 + y 2 , que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 y , fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

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Questão 63

Calcule a área da superfície da esfera de raio a , centrada na origem, limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo que o ângulo entre os meridianos é α e a distância entre os planos que contêm os paralelos é h .

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Questão 64

Suponha que f x , y , z = x 2 + y 2   .   g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é a função de uma variável, tal que g 2 = - 5 . Calcule ∬ S f x , y , z d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4

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Questão 65

Observe a figura abaixo que representa o toro obtido girando em torno do eixo z uma circunferência com centro no ponto C e com raio a . A distância do ponto C à origem é b > a .

  1. Mostre que r u , v = b + a cos ⁡ v cos ⁡ u , b + a cos ⁡ v sen ⁡ u , a sen ⁡ v , é a representação paramétrica do toro, onde u , v ∈ 0,2 π
  2. Calcule o vetor normal ao toro no ponto b , 0 , a
  3. Calcule a área do toro

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Questão 66

Seja S a superfície obtida pela rotação da curva z = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2 em torno do eixo z . Seja r u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n v , cos ⁡ u , onde 0 ≤ u ≤ π 2 , 0 ≤ v ≤ 2 π uma parametrização de S . Considere a função escalar f x , y , z = 1 2 - z 2 .

  1. Calcule r u × r v
  2. Encontre a equação do plano tangente que passa pelo ponto correspondente a u = v = π 4
  3. Calcule ∬ S   f ( x , y , z ) d S

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Questão 67

Calcule a área da superfície da equação z = 1 - y 2 compreendida entre os planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e o cilindro z = 1 - x 2 .

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Questão 68

1. Calcule a integral de superfície:

d) ∫ ∫ S x 2 y + z 2 d S , S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 , entre os planos z = 0 e z = 2 .

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Questão 69

1. Calcule a integral de superfície:

c) ∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 .

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Questão 70

1. Calcule a integral de superfície:

b) ∫ ∫ S x 2 z 2 d S , S é a parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 3 .

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Questão 71

(Cap. 16.7 – Exercício 20) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 + y 2 + z 2 d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 , juntamente com os discos inferior e superior.

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Questão 72

(6) Considere a , b e c tais que 0 < a < c < b . A área da parte da superfície z = c + x - a 2 + y - b 2 , z ≥ c , que fica dentro do cilindro x 2 a 2 + y 2 c 2 = 1 é:

  1. 2 π a c
  2. π a b 2
  3. π a c 2
  4. 2 π a b
  5. π a c a 2 + b 2

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Questão 73

(Capítulo 15.6 – Exercício 1) Determine a área da superfície.

A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .

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Questão 74

Determine as equações paramétricas e a área da superfície obtida pela rotação da função f x = e - x , x ∈ 0,2 em torno do eixo x .

(Não precisa resolver a integral)

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Questão 75

Encontre a área da superfície y = 4 x + z 2 que está entre os planos x = 0 , x = 1 , z = 0 e z = 1 .

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Questão 76

(Cap.16.7- Exercício 9) Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 y z d S ,

S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .

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Questão 77

(Cap.16.7 - Exercício 8) Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial.

r u , v = ⟨ 2 u v , u ² − v ² , u ² + v ² ⟩ , u ² + v ² ⩽ 1

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Questão 78

(Cap. 16.7 - Exercício 13) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 z 2 d S

S é a parte do cone z 2 = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1 e z = 3

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Questão 79

(Cap. 16.7 - Exercício 5) Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S , S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v , y = u − v , z = 1 + 2 u , 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1 .

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Questão 80

(Cap. 16.7- Exercício 16) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S y 2 d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .

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Questão 81

(Cap.16.7 - Exercício 7) Calcule a integral de superfície.

∬ y d S , S é o helicoide com equação vetorial

r u , v = ⟨ u c o s v , u s e n v , v ⟩ , 0 ⩽ u ⩽ 1,0 ⩽ v ⩽ π

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Questão 82

(Cap. 16.7 - Exercício 10) Calcule a integral de superfície.

∬ x z d S , S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

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Questão 83

(Cap 16.7 - Exercício 17) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0

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Questão 84

(Cap 16.7- Exercício 18) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x z d S

S é o limite da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5

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Questão 85

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

a )   ∫ ∫ S y d σ , onde S é a superfície dada por z = x + y 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2 ;

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Questão 86

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

b )   ∫ ∫ S x 2 d σ , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;

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Questão 87

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

e ) ∫ ∫ S z x 2 + y 2 d σ , onde S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 ;

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Questão 88

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

c )   ∫ ∫ S y z d σ , onde S é a parte do plano z = y + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 ;

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Questão 89

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

a) f x ,   y ,   z = x 2 z e S : x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , com 0 ≤ z ≤ 1 .

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Questão 90

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

a )   S é a parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 contida no primeiro octante e δ x , y , z = y .

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Questão 91

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

h ) ∫ ∫ S x + 1 d σ , onde S é a parte de z = x 2 + y 2 limitada por x 2 + y 2 = 2 y .

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Questão 92

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

b )   S   é o triângulo com vértices 1,0 , 0 ,   ( 1,1 , 1 ) e ( 0,0 , 2 ) e δ x , y , z = x z .

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Questão 93

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

c )   S é a parte do paraboloide x = 4 - y 2 - z 2 contida no semiespaço x ≥ 0 e δ x , y , z = x 2 + y 2 .

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Questão 94

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

e )   S é a parte de z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) limitada pelos cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = e 2 ,   e δ x , y , z = x 2 + y 2 .

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Questão 95

Questão 1: Considere a parte ∑   do paraboloide hiperbólico 4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1 onde x 2 - y + 3 z 2 ≤ 0 .

  1. Determine uma parametrização da superfície ∑   , especificando o domínio de definição.
  2. Usando a parametrização, calcule a integral de superfície da função escalar

∬ ∑   2 x 2 + y   d S

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Questão 96

Questão 6. Calcule as seguintes integrais de superfícies.

(a) ∬ S x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está abaixo do retângulo 0,3 × 0,2 ;

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Questão 97

9) Calcule ∬ S f ( x , y , z ) d S , onde

d) f x , y , z = z e S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos z = 1 e x + z = 4 .

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Questão 98

f )   ∫ ∫ S x y z d σ , onde S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 interior ao cone z = x 2 + y 2 ;

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Questão 99

Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

d )   S   é a parte de z = x 2 + y 2 + 2 x y limitada por x 2 + y 2 = 2 e δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z

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Questão 100

8) O cilindro x 2 + y 2 = x divide a esfera S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 em duas regiões S 1 e S 2 , onde S 1 está no interior do cilindro e S 2 fora. Ache a razão das áreas A S 2 A S 1 .

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Questão 101

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

d ∫ ∫ S x y d σ onde S o bordo da região limitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0   e x   +   y   =   2 ;

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Questão 102

Calcule as seguintes integrais de superfícies:

g ∫ ∫ S 2 x   2     +   2 y   2     −   2 2 x 2     +   2 y 2       −   1   d σ onde S e a parte de x 2   +   y 2     −   z 2   =   1 com 1 ≤ z ≤ 3;

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Questão 103

Calcular a área da parte da superfície z 2 = y 2 - x 2 situada entres os planos

y = 1 2 x + 3   e   y = 0 .

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Questão 104

Questão 1: Calcule a massa da superfície S de equação

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 1

E densidade γ x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2 , com x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 .

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Questão 105

Seja S o pedaço do cone z = x 2 + y 2 acima do cilindro z 2 + x 2 = 1 e embaixo do cilindro z 2 + y 2 = 4 . Calcule a área da superfície S.

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Questão 106

4) Calcule a área das superfícies:

c) S : porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 , entre os planos z = y e z = 2 y .

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Questão 107

Determine a área da lâmina do cilindro circular ∑ : x 2 + y 2 = 4 em R 3 contida entre o plano ( O x y ) e o cilindro parabólico P : z = y 2 , no primeiro octante.

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Questão 108

Observe a figura abaixo, a região hachurada é limitada pelas curvas y = ( x + 1 ) ² e x = y - y 3 .

Escreva às integrais duplas necessárias para encontrar a área da região hachurada. Detalhe os pedaços de regiões utilizadas na sua decomposição.

Não é necessário calcular as integrais.

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Questão 109

Observe a figura abaixo, a região hachurada é limitada pelas curvas y = ( x + 1 ) ² e x = y - y 3 .

Escreva às integrais duplas necessárias para encontrar a área da região hachurada. Detalhe os pedaços de regiões utilizadas na sua decomposição.

Não é necessário calcular as integrais.

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Questão 110

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

a) f x ,   y ,   z = z - x 2 + x y 2 - 1 e S : r → u ,   v = u   i → + v   j → + u 2 + 1   k → , com 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 .

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Questão 111

Seja S a superfície parametrizada por:

ϕ u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ ( v ) , v

u ∈ 0,2

v ∈ 0,2 π

Calcule a integral de superfície:

I = ∬ S   x 2 + y 2 d S

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Questão 112

Seja S a superfície do cilindro x 2 + y 2 = 4 com 0 ≤ z ≤ 4 - x 2 4 + y 2 , e contida no semi espaço y ≥ 0 . Calcule a área de S .

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Questão 113

( Cap. 16.7- Exercício 19) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S z + x 2 y d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante

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Questão 114

Avalie a integral da superfície ∬ F d S , onde o campo vetorial F é definido por F x , y , z = y i + z - y j + x k , e S é a superfície de tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

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Questão 115

9) Calcule

∬ S   f x ,   y , z   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 y 2 z 2 e S é a parte da superfície cônica z = x 2 + y 2 , limitada por z = 4 - x 2 + y 2 , com z ≥ 0 .

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Questão 116

9) Calcule

∬ S   f x ,   y   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 e S é a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 , limitada pelos planos z = 0 e z = 3 .

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Questão 117

6) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = - y i → + x j → + 4 z 2 k → , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos z = 0 e z + y = 2 , com a normal apontando para fora do sólido.

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Questão 118

Seja   S a parte da superfície y = 1 - x 2 com y ≥ 0 e x ≥ 0 , limitada pelos planos z = 0 e z = 8 . Então, o valor de ∫ ∫ S x d σ é:

a) 2 3 3 3 - 1

b) 2 3 2 2 - 1

c) 2 3 8 8 - 1  

d)   2 3 5 5 - 1

e)   2 3 7 7 - 1

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Questão 119

Suponha:

  • Uma superfície S dada por z = 10 - x 2 - y 2 ,   1 ≤ z ≤ 9
  • γ 1 é a intersecção de S com z = 1
  • γ 2 é a intersecção de S com z = 9
  • F x , y , z = < 3 z , 4 x , y >
  • F x , y , z = < z 2 , 2 x , - y 3 >

Escolha um dos campos vetoriais para a partir de S, γ1 e γ2 elaborar:

ii. um exercício que envolva o cálculo de Fluxo.

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Questão 120

Questão 1: Seja a superfície parametrizada

r t ,   θ = t 2 2 cos ⁡ θ , t 2 2 sin ⁡ θ ,   t ,     - 2 ≤ t ≤ 0

  1. Calcule a equação cartesiana da imagem de   r .
  2. Faça um esboço da imagem de r .
  3. Justifique se a imagem de r é uma superfície regular ou não.
  4. Calcule a equação implícita do plano tangente no ponto r - 1 , π 2 .
  5. Calcule ∬ r   48 x 2 + y 2 z 5 d S

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Questão 121

Considere a superfície S : z = 6 - x 2 - y 2 ,   0 ≤ z ≤ 4 .

  1. Esboce a superfície S .
  2. Parametrize a superfície S .
  3. Determine o vetor normal unitário no ponto 0 ,   2 ,   2 que aponta para cima.
  4. Calcule a área de S .

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Questão 122

Seja S parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com z ≥ x 2 + y 2 . Calcule a massa de S sendo δ x , y , z = x 2 + y 2

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Questão 123

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y 2   d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .

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Questão 124

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = - x i ^ - y j ^ + z 3 k ^

S   é   a   p a r t e   d o   c o n e   z = x 2 + y 2   q u e   e s t á   e n t r e   o s   p l a n o s   z = 1   e   z = 3   c o m   o r i e n t a ç ã o   d e s c e n d e n t e .

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Questão 125

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x y   i + 4 x 2   j + y z   k   ,

S é a superfície z = x e y   ,     0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1   , com orientação para cima.

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Questão 126

Calcule as seguintes integrais de superfícies.

d) ∫ ∫ x 2 z + y 2 z d S , S é a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 0

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Questão 127

Calcule a integral de superfície

∬ S 2 x 2 + y   d S

Onde S é a parte do parabolóide hiperbólico 4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1 dentro do parabolóide y = x 2 + 3 z 2 .

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Questão 128

Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

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Questão 129

A integral de linha do campo F → ( x , y , z ) = [ c o s ( x 4 ) ,   x + s e n ( y 2 ) , t a n ( z ) ] sobre a curva dada pela intersecção do plano z = 2 x   + 7 com o parabolóide z = x 2 + y 2 , orientada de modo que sua projeção no plano O x y é percorrida no sentido anti-horário é

( a )   0

( b )   2 π

( c )   2 2 π

( d )   4 π

( e )   8 π

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Questão 130

Considere o campo F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 . O trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa e simples contida na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com ponto inicial ( 2,0 , 0 ) e ponto final ( 1,1 , 2 ) é

( a )   0

( b )   1

( c )   π / 4

( d )   π / 3

( e )   π / 2

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Questão 131

Analise as seguintes afirmações sobre o campo F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 :

( I )   D i v ( F → ) = 1 .

( I I )   F → é conservativo em seu domínio.

( I I I ) A integral de superfície de F → sobre qualquer esfera de raio a é 0 .

Podemos afirmar que

a ) todas as afirmações são verdadeiras.

b ) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras.

c ) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras.

d ) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.

e ) apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira.

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Questão 132

Seja γ uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2

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Questão 133

Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S

S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,   y = u - v ,   z = 1 + 2 u + v ,   0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 1 .

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Questão 134

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

S   é   o   h e m i s f é r i o   x 2 + y 2 + z 2 = 25 ,   y ≥ 0 ,   o r i e n t a d o   n a   d i r e ç ã o   d o   e i x o   p o s i t i v o   y   .

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Questão 135

4) Calcule a área das Superfícies:

b) S : Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , interior ao cone z = x 2 + y 2 3

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Questão 136

4) Calcule a área das superfícies:

d) S : parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 y , limitado pelo plano z = 0 e o z = x 2 + y 2 .

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Questão 137

6) Seja S a superfície de equação 2 z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ k , k > 0 . Sabendo-se que a área de S vale 14 π 3 , determine o valor de k .

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Questão 138

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

07. S é a superfície do cone z = x 2 + y 2 interna ao cilindro circular x 2 + y 2 = 4 .

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Questão 139

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

08. S é a superfície do paraboloide z = x 2 + y 2 , situada abaixo do plano z = 1 .

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Questão 140

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

06. S é a superfície de uma esfera de raio R .

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Questão 141

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

10. S é a porção do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

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Questão 142

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

11. S é a superfície do cilindro 2 z = x 2 , cortada pelos planos 2 y = x , y = 2 x e x = 2 2 .

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Questão 143

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

12. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , interna ao cone z = x 2 + y 2   .

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Questão 144

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

13. S é a superfície plana de fronteira triangular com vértices em 2,0 , 0 , 0,3 , 0 e 0,0 , 2 .

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Questão 145

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

15. S é a superfície correspondente à porção do cilindro circular x 2 + y 2 = 1 com altura 4 .

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Questão 146

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

05. S é a superfície representada por σ ( u , v ) = u 2 , u v , v 2 2 , para 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 .

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Questão 147

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

09. S é a parte da superfície descrita por   u , v = u , v , 5 - u - v , situada acima da região circular u 2 + v 2 ≤ 9 .

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Questão 148

Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

14. S é dada pela equação σ u , v = u , v , u 2 + v 2 e se encontra sobre a região 1 ≤ u 2 + v 2 ≤ 9 .

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Questão 149

Calcule

  1. ∫ γ x 2 5 y d x + 7 x d y + e y d y ,   s e n d o   γ a elipse 16 x 2 + 25 y 2 = 100 , percorrida de 0 , - 2 )   a   ( 0,2 ) com x ≥ 0 .
  2. ∫ γ 2 x e y - x 2 y - y 3 3 d x + x 2 e y + sin ⁡ y d y , sendo γ a circunferência x 2 + y 2 - 2 x = 0 , percorrida de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) com y ≥ 0 .
  3. ∫ γ v → d r , sendo γ a fronteira do retângulo 1,2 × [ - 1,1 ] e v → x , y = 2 atan ⁡ y x i → + ( ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 x ) j → , percorrida no sentido anti-horário.

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Questão 150

Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

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Questão 151

Um campo de vetores F → em R 2 se diz radial (ou central) se existe uma função g : R → R tal que F ��� x , y = g r → r → , onde r → = x i → + y j → . Suponha que g é de classe C 1 . Mostre que F →   é conservativo.

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Questão 152

(ii) Escolha uma das estratégias para resolver o ∫ C F d r .

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Questão 153

Suponha:

  • Uma superfície S dada por z = 10 - x 2 - y 2 ,   1 ≤ z ≤ 9
  • γ 1 é a intersecção de S com z = 1
  • γ 2 é a intersecção de S com z = 9
  • F x , y , z = < 3 z , 4 x , y >
  • F x , y , z = < z 2 , 2 x , - y 3 >

Escolha um dos campos vetoriais para a partir de S, γ1 e γ2 elaborar:

i. um exercício que envolva o cálculo de Trabalho.

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Questão 154

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

f x , y , z = x + y

S   a   p o r ç ã o   d o   p l a n o   2 x + 3 y + z = 6   s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e

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Questão 155

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 + y 2 + z ²

onde S é a porção do plano z = y + 4 interior ao cilindro x ² + y ² = 4 .

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Questão 156

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 d s

onde S é o hemisfério superior de x 2 + y 2 + z ² = a ² .

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Questão 157

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   z ² d s

onde S é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 4 ,   p a r a   y ≥ 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = x + 3

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Questão 158

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   z x 2 + y ² d s

onde S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z ² = 9 situada entre os planos z = 1 e z = 2

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Questão 159

Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

∬ S   x 2 + y 2 + z ² d s

onde S a parte do plano - x + z = 2 , contida no cilindro x 2 + y ² = 1 .

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Questão 160

Forneça o resultado numérico da parte imaginaria da integral ∫ d z z ,   sendo o caminho C dado pela parametrização z = e i θ , 0 ≤ θ ≤ π .

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

PrimitivasEquação da ElipseMultiplicação de FraçõesCoeficiente LinearSemelhança de triângulos - FórmulaFórmula do x e y do vérticeTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela