Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 9
Calcule a integral de superfície.
S é a parte do plano que está acima do retângulo
Passo 1
E aí, minha gente! Beleza?
A questão quer o valor da integral:
Onde S é a parte do plano que está acima do retângulo
Bom, para isso podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função , que é a equação do plano dada no enunciado. Daí, é só escrevermos nossa região como uma integral dupla e resolver nossa integral.
Bora lá!
Passo 2
Nossa função é:
Para isso podemos calcular a taxa de variação em relação a e .
- Derivando em , tratando como constante:
- Derivando em , tratando como constante:
Substituindo na nossa equação:
Ficamos com:
Veja que ainda faltam nossos limites de integração. Como o enunciado nos trouxe que nossa região é o retângulo:
Nossos limites ficam:
Substituindo:
Então, temos:
Passo 3
Agora é só calcularmos nossa integral dupla:
Multiplicando o termo para dentro dos parênteses:
Começamos integrando por dentro, pela integral em , tratando como constante:
Aplicando os limites de integração em :
Agora podemos integrar em :
Aplicando os limites de integração:
Então: