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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 15

Calcule a integral de superfície.

∬ x d S

S é a superfície y = x 2 + 4 z , 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Faaaala galerinha, belezaaaa!? Vamos nessa!

Devemos calcular a integral de superfície:

∬ x d S

Onde S é a superfície:

y = x 2 + 4 z ,                   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1

Vamos lembrar como podemos escrever um integral de superfície. Dessa forma:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , z ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1   d A

d A = d x d z

Sabemos que:

f x , y , z = x

Precisamos achar as derivadas parciais de y em relação a x e z , e substituir na integral. Como já temos os limites de integração, é só substituir também e começar a resolver a integral.

0 ≤ x ≤ 1

  0 ≤ z ≤ 1

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais.

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , z ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1   d A

d A = d x d z

Do enunciado temos que y é:

y = x 2 + 4 z

Assim, as derivadas parciais ficam:

∂ y ∂ x = 2 x

∂ y ∂ z = 4

Substituindo na integral temos:

∬ x 2 x 2 + 4 2 + 1   d x d z

∬ x 17 + 4 x 2   d x d z

Substituindo os intervalos de integração dado no enunciado:

0 ≤ x ≤ 1

  0 ≤ z ≤ 1

Vamos ficar com a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 17 + 4 x 2 d x d z

Passo 3

Agora vamos resolver a integral.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 17 + 4 x 2 d x d z

Vamos precisar usar o método da substituição.

Seja:

u = 17 + 4 x 2

d u = 8 x d x → d u 8 = x d x

Os limites de integração também vão mudar, indo de 0   a   1 para:

u = 17 + 4 x 2 = 17 + 4 0 2 = 17

u = 17 + 4 x 2 = 17 + 4 1 2 = 21

Assim,

∫ 0 1 ∫ 17 21 u d u 8 d z

Integrando primeiro em d u e simplificando, vamos ter:

∫ 0 1 1 8 2 3 u 3 2 17 21 d z

∫ 0 1 1 12 u u 17 21 d z

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

∫ 0 1 1 12 [ 21 21 - 17 17 ] d z

Integrando em dz, temos:

1 12 [ 21 21 - 17 17 ] ( z ) 0 1

Aplicando os limites ficamos com a seguinte resposta:

∬ f x , y , z d s = 1 12 [ 21 21 - 17 17 ]

Resposta

∬ f x , y , z d s = 1 12 [ 21 21 - 17 17 ]

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