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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 18

Calcule a integral de superfície.

∬ ( x + y + z ) d S

S é a parte da metade do cilindro x 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0 , que está entre os planos y = 0 e y = 2 .

Passo 1

E aí, galera! Tudo tranquilo?

A questão pede o valor da integral de superfície:

∬ ( x + y + z ) d S

S é a parte da metade do cilindro

x 2 + z 2 = 1

z ≥ 0

que está entre os planos y = 0 e y = 2

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função z , que o enunciado nos deu. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla, achar os limites de integração e resolver nossa integral.

Passo 2

Precisamos achar as derivadas parciais de z .

x 2 + z 2 = 1

Isolando z na equação do cilindro, podemos reescrever a equação como

z = 1 - x 2

Assim:

  • Derivando em x :

    • ∂ z ∂ x = - 2 x 2 1 - x 2

  • Derivando em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = 0

Vamos encontrar nosso termo f x , y , g x , y . Nossa função original no integrando é:

f x , y , z = x + y + z

Então vamos substituir z por sua expressão em função de x e y .

g x , y = z = 1 - x 2

Então:

f x , y , g x , y = x + y + 1 - x 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1

Temos:

= x + y + 1 - x 2 - 2 x 2 1 - x 2 2 + 0 + 1

Somando os temos na raiz:

= ( x + y + 1 - x 2 ) 1 + x 2 1 - x 2

Então, ficamos com:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x + y + 1 - x 2 1 - x 2

Passo 3

Portanto,

∬ ( x + y + z ) d S = ∬ x + y + 1 - x 2 1 - x 2 d x d y

Perceba como alinda faltam os limites de integração. Os limites para y o próprio enunciado nos deu: planos

y = 0 e y = 2

Então:

0 ≤ y ≤ 2

Para x : fazemos z = 0 na equação do cilindro para entender quais são os valores no eixo x :

x 2 + 0 2 = 1

Então:

x = ± 1

- 1 ≤ x ≤ 1

A região D é a projeção da superfície no plano x y . Portanto, D é a região - 1,1 × [ 0,2 ] . E nossa integral é:

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 1 - x 2 + y 1 - x 2 + 1 d x d y

Passo 4

Agora podemos resolver nossa integral:

∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 1 - x 2 + y 1 - x 2 + 1 d x d y

Integrando primeiro em x que é a integral de dentro, tratando y como constante:

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 - 1 - x 2 + y sin - 1 ⁡ x + x - 1 1 d y

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 - 1 - 1 2 + y sin - 1 ⁡ 1 + 1 - - 1 - - 1 2 + y sin - 1 ⁡ - 1 + - 1 d y

Ficamos com:

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 π y + 2   d y

Integrando finalmente em y :

∬ f x , y , z d s = π y 2 2 + 2 y 0 2

Aplicando os limites de integração:

∬ f x , y , z d s = 2 π + 4

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 2 π + 4

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