Seja H o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 50   ,   z ≥ 0   , e suponha que f seja uma função contínua com

f 3 ,   4 ,   5 = 7

    f 3 ,   - 4 ,   5 = 8

    f - 3 ,   4 ,   5 = 9

f - 3 ,   - 4 ,   5 = 12

Dividindo H em quatro retalhos, estime o valor de ∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S .

Passo 1

E ai galera, beleza!?

Nessa questão devemos estimar o valor da integral abaixo dividindo H em quatro retralhos.

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S

Onde, H é o hemisfério:

x 2 + y 2 + z 2 = 50   ,   z ≥ 0

Sabemos também que:

f 3 ,   4 ,   5 = 7

    f 3 ,   - 4 ,   5 = 8

    f - 3 ,   4 ,   5 = 9

f - 3 ,   - 4 ,   5 = 12

Antes de tudo, vamos lembrar como escrevemos a soma de Riemann:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ Δ S ∑ i = 1 n f ( x i , y i , z i )

Sabendo disso, galera, nós podemos usar os planos x z e y z para dividir H em quatro pedaços de tamanhos iguais, cujas áreas de superfície serão iguais a 1 8 da área de superfície de uma esfera de raio 50 . Desse jeito:

Sabendo que a área da superfície de uma esfera é:

A s u p ⁡ _ e s f e r a = 4 π R 2

Assim, vamos ter nossa área igual a:

Δ S = A s u p = 1 8   .   4 π   .   50 2 = 25 π

Agora não tem erro pessoal, é so aplicarmos na soma de Riemann.

Bora fazer isso!

Passo 2

Sabemos que a integral pode ser calculada como a soma de Riemann:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ Δ S ∑ i = 1 n f ( x i , y i , z i )

Temos os seguintes pontos em f :

f 3 ,   4 ,   5 = 7

    f 3 ,   - 4 ,   5 = 8

    f - 3 ,   4 ,   5 = 9

f - 3 ,   - 4 ,   5 = 12

Expandindo a soma de Rieman, vamos ter:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ Δ S   f 3 ,   4 ,   5 +   f 3 ,   - 4 ,   5 +   f - 3 ,   4 ,   5 +   f - 3 ,   - 4 ,   5

Já vimos que Δ S é:

Δ S = 25 π

Logo, substituiondo ficamos com:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S = 25 π 7 + 8 + 9 + 12

Portanto nossa resposta é:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S = 900 π

Ou aproximadamente:

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ 2827

Resposta

∫ ∫ H   f ( x ,   y ,   z )   d S ≈ 2827

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