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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 8

Calcule a integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S

S é a superfície com o vetor paramétrico r u , v = 2 u v ,   u 2 - v 2 , u 2 + v 2 ,   u 2 + v 2 ≤ 1 .

Passo 1

E aí, galera! Tudo tranquilo?

A questão pede a integral de superfície:

∬ x 2 + y 2 d S ,

S é a superfície com equação vetorial.

r u , v = < 2 u v , u 2 - v 2   , u 2 + v 2 >

Com:

u 2 + v 2 ≤ 1

Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A

Então, não vamos precisar achar uma parametrização para x , y e z pois o enunciado já nos deu. Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = x 2 + y 2

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → u e r → v e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

r u , v = < 2 u v , u 2 - v 2   , u 2 + v 2 >

Então nossos parâmetros são:

x = 2 u v

y = u 2 - v 2

z = u 2 + v 2

  • r → v : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ 2 u v ∂ v i ⃑ + ∂ u 2 - v 2 ∂ v j ⃑ + ∂ u 2 + v 2 ∂ v k ⃑

    Derivando cada uma dessas funções em relação a v , tratando u como constante:

    r → v : = ( 2 u , - 2 v , 2 v )

  • r → u : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

r u = ∂ x ∂ u i ⃑ + ∂ y ∂ u j ⃑ + ∂ z ∂ u k ⃑ = ∂ 2 u v ∂ u i ⃑ + ∂ u 2 - v 2 ∂ u j ⃑ + ∂ u 2 + v 2 ∂ u k ⃑

Derivando cada uma dessas funções em relação a u , tratando v como constante:

r → u   = ( 2 v , 2 u , 2 u )

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:

r u × r v = 2 u , - 2 v , 2 v × 2 v , 2 u , 2 u = i j k 2 v 2 u 2 u 2 u - 2 v 2 v

Agora vamos calcular o seguinte produto vetorial. Cada termo dentro dos parênteses conseguimos calculando o determinante da matriz que sobra pra gente quando ignoramos a linha e a coluna da componente que estamos calculando:

r u × r v = i 2 v 2 u + 2 u 2 v - j - 2 u 2 u + 2 v 2 v + k - 2 u 2 u + 2 v - 2 v

Simplificando os termos de cada componente:

r u × r v = 8 u v i ^ + 4 u 2 - v 2 j ^ - 4 u 2 + v 2 k ^

Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

r u × r v = 8 u v 2 + 4 u 2 - v 2 2 + - 4 u 2 + v 2 2

Elevando cada termo ao quadrado:

r u × r v = 64 u 2 v 2 + 16 u 4 - 2 u 2 v 2 + v 2 + 16 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4

Somando os termos iguais:

r u × r v = 32 u 4 + 64 u 2 v 2 + 32 v 4

Podemos colocar 32   em evidência e usarmos a propriedade:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Então:

r u × r v = 32 u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 = 4 2 u 2 + v 2 2

Tirando a raiz, esse é o módulo do nosso produto vetorial:

r u × r v = 4 2 u 2 + v 2

Passo 4

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x 2 + y 2 d S

Vamos reescrever nossa função parametrizada:

f x , y , z = x 2 + y 2

substituindo as equações paramétricas:

f r u , v = 2 u 2 v 2 + u 2 - v 2 2

Ficamos com:

∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A = ∬ 2 u 2 v 2 + u 2 - v 2 2 r u × r v d S

Agora substituímos o módulo do nosso produto vetorial r u × r v e abrimos os termos da nossa função:

∬ 4 v 2 u 2 + u 4 - 2 u 2 v 2 + v 4 4 2 u 2 + v 2 d S

Tirando constantes para fora:

4 2 ∬ u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 u 2 + v 2 d S

Para simplificar esse resultado podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

a + b 3 = a + b 2 a + b = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a + b )

Onde:

a = u 2  

b = v 2

Então:

4 2 ∬ u 4 + 2 u 2 v 2 + v 4 u 2 + v 2 d S = 4 2 ∬ u 2 + v 2 3 d S

Passo 5

Nesse exercício não foram dados nossos limites de integração no enunciado, mas foi dada a restrição:

u 2 + v 2 ≤ 1

Nota que isso é uma equação de uma circunferência de raio 1 , então a partir daqui podemos facilmente utilizar coordenadas polares:

u 2 + v 2 = r 2  

  d S = r d r d θ

4 2 ∬ u 2 + v 2 3 d S = 4 2 ∬ r 2 3 r d r d θ

Como temos uma circunferência completa e de raio 1 nossos limites serão:

0 ≤ θ ≤ 2 π

  0 ≤ r ≤ 1  

Assim nós teremos:

4 2 ∬ ( r 2 ) 3 r d r d θ = 4 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 7 d r

Realizando cada integral em relação a sua variável de integração, aqui já aplicamos o limite na integral de θ . Aplicando agora na integral de r :

= 4 2 2 π r 8 8 0 1

Temos:

4 2 ∬ ( r 2 ) 3 r d r d θ = 8 π 2 1 8

Simplificando:

4 2 ∬ ( r 2 ) 3 r d r d θ = 2 π

Então, temos que:

∬ x 2 + y 2 d S = 2 π

Resposta

∬ x 2 + y 2 d S = 2 π

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