Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 10
Calcule a integral de superfície.
S é a parte do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certo?
A questão quer o valor da integral:
Onde S é a parte do plano que está no primeiro octante
Bom, para isso podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função , que é a equação do plano dada no enunciado. Daí, é só escrevermos nossa região como uma integral dupla e resolver nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é:
Isolando :
Para isso podemos calcular as derivadas em relação a e .
- Derivando em , tratando como constante:
- Derivando em , tratando como constante:
- : para achar os limites de , fazemos na equação do plano para acharmos a interseção do plano no eixo :
- : para achar os limites em , fazemos para acharmos a interseção do plano no plano :
Substituindo na nossa equação:
Ficamos com:
Passo 3
Veja que ainda faltam nossos limites de integração. O enunciado não nos deu diretamente, mas trouxe que a região de integração está no primeiro octante, onde e .
Então:
Como , ficamos com:
Isolando
Como , temos:
Também substituímos:
No nosso integrando. Nossa integral é:
Passo 3
Agora podemos calcular nossa integral dupla!
Multiplicando o termo fora dos parênteses:
Integrando primeiro em que é a integral de dentro, tratando como constante:
Aplicando os limites de integração em :
Agora integramos em :
Aplicando finalmente nossos limites de integração:
Então: