Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S

S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,   y = u - v ,   z = 1 + 2 u + v ,   0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 1 .

Passo 1

E aiiii turma, beleza!?

Precisamos calcular a integral de superfície:

∬ x + y + z d S

Onde, S é o paralelogramo com as equações paramétricas

x = u + v ,     y = u - v ,     z = 1 + 2 u + v ,

0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas.

A integral é equivalente a seguinte integral:

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

A função parametrizada ele já nos deu no enunciado, temos:

r u , v = u + v i + u - v j + 1 + 2 u + v k

Precisamos achar as derivadas parciais de r ( u , v ) em relação a u e v, fazer o produto vetorial entre elas, e depois o modulo.

Também não esquecer de parametrizar f x , y , z que é:

f x , y , z = x + y + z

Agora com esse bizu, ficou moleza ein! É só substituir na integral depois de achar os itens acima!

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais da nossa parametrização:

r u , v = u + v i + u - v j + 1 + 2 u + v k

Derivando r ( u , v ) em relação a u e v, vamos ter:

r u = d r d u = i + j + 2 k

r v = d r d v = i - j + k

Agora vamos achar o módulo do produto vetorial das derivadas parciais.

Fazendo o produto vetorial, temos:

r u × r v = i j k 1 1 2 1 - 1 1

Aplicando o determinante vamos ter:

r u × r v = 1 + 2 i + 2 - 1 j + - 1 - 1 k

r u × r v = 3 i + j - 2 k

O módulo é igual a:

r u × r v = 3 2 + 1 2 + - 2 2  

r u × r v = 14

Passo 3

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral, beleza!

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

Substituindo, ficamos com:

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 2 ∫ 0 1 4 u + 1 + v 14 d v d u

Nesse caso tanto faz a ordem de integração d v ou d u , pois os dois integrandos estão com numerais nos limites de integração.

Integrando em d v primeiro, vamos ter:

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 4 u v + 1 v + v 2 2 0 1 d u

Aplicando os limites de integração, temos:

∬ f x , y , z d S = 14 ∫ 0 2 4 u + 1 + 1 2 d u

Estamos quase lá. Vamos integrar em d u agora. Integrando, ficamos com:

∬ f x , y , z d S = 14 4 u 2 2 + 3 2 u 0 2

Aplicando os limites de integração, temos:

∬ f x , y , z d S = 14 2 2 2 + 3 2 2

Somando os termos, temos que a integral de superfície vale:

∬ x + y + z d S = 11 14

Resposta

∬ x + y + z d S = 11 14

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