Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 5
Calcule a integral de superfície.
é o paralelogramo com as equações paramétricas .
Passo 1
E aiiii turma, beleza!?
Precisamos calcular a integral de superfície:
Onde, é o paralelogramo com as equações paramétricas
Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas.
A integral é equivalente a seguinte integral:
A função parametrizada ele já nos deu no enunciado, temos:
Precisamos achar as derivadas parciais de em relação a u e v, fazer o produto vetorial entre elas, e depois o modulo.
Também não esquecer de parametrizar que é:
Agora com esse bizu, ficou moleza ein! É só substituir na integral depois de achar os itens acima!
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar determinando as derivadas parciais da nossa parametrização:
Derivando em relação a u e v, vamos ter:
Agora vamos achar o módulo do produto vetorial das derivadas parciais.
Fazendo o produto vetorial, temos:
Aplicando o determinante vamos ter:
O módulo é igual a:
Passo 3
Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral, beleza!
Substituindo, ficamos com:
Nesse caso tanto faz a ordem de integração ou , pois os dois integrandos estão com numerais nos limites de integração.
Integrando em primeiro, vamos ter:
Aplicando os limites de integração, temos:
Estamos quase lá. Vamos integrar em agora. Integrando, ficamos com:
Aplicando os limites de integração, temos:
Somando os termos, temos que a integral de superfície vale: