Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 6
Calcule a integral de superfície.
S é o cone com equações paramétricas ,
Passo 1
Fala, galera! Tudo certo?
A questão pede a integral de superfície:
S é o cone com equações paramétricas
Com:
Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:
Então, não vamos precisar achar uma parametrização para , e pois o enunciado já nos deu. Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:
Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores e e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:
E:
Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!
Passo 2
Vamos achar nossos vetores e . Do enunciado nós temos
Então nossos parâmetros são:
- : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:
- : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:
Derivando cada uma dessas funções em relação a , tratando como constante:
Ficamos com:
Derivando cada uma dessas funções em relação a , tratando como constante:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Agora, podemos tirar o módulo desse nosso vetor:
Substituindo:
Passo 4
Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.
Vamos reescrever nossa função parametrizada:
substituindo as equações paramétricas:
Ficamos com:
Agora substituímos o módulo do nosso produto vetorial:
Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las
Realizando cada integral:
Aplicando os limites de integração:
Então: