Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 50
Calcule a integral
por dois métodos: (a) tomando ; (b) tomando e obtendo uma integral envolvendo funções trigonométricas de .
Passo 1
O exercício pede para você resolver uma integral de duas formas diferentes e em ambos os casos ele dá a substituição que você deve usar. Vamos começar pelo item (a): ele quer que você use a mudança de variável . Quando você usa essa substituição:
*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.
Assim, a integral será
Note que todos os termos vão se cancelar. Portanto,
Passo 2
Agora vamos ao item (b). O que ele pede é a substituição:
Assim,
Agora vamos lembrar da fórmula do arco duplo: :
Lembrando que :
Passo 3
Por fim, você tem que lembrar que derivada da tangente é secante ao quadrado, logo a primitiva da secante ao quadrado é a tangente:
Lembrando que :
Note que é mesma resposta do item (a), como deve ser!