Mostre que a fórmula (2) desta secção é equivalente à fórmula ∫ sec ⁡ xd x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C . (Sugestão: multiplique o numerador e o denominador sob o radical por ( 1 + s e nx ) .)

Enunciado

A fórmula (2) apresentada na seção do livro é

A questão pede para provarmos que ela é análoga a expressão usual

Note que para fazer isso, não precisamos resolver nenhuma integral, temos apenas que mostrar que

Na verdade, não precisamos nem mostrar que elas são exatamente iguais, basta que elas difiram por uma constante!

A dica dada no enunciado é a seguinte:

Como , temos que

Usando as definições de secante e tangente:

Assim,

que é precisamente o que queríamos mostrar!

Demonstração.