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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 47

Mostre que a fórmula (2) desta secção é equivalente à fórmula ∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C .

(Sugestão: multiplique o numerador e o denominador sob o radical por ( 1 + s e n   x ) .)

Passo 1

A fórmula (2) apresentada na seção do livro é

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ 1 + s e n   x 1 - s e n   x + C

A questão pede para provarmos que ela é análoga a expressão usual

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C

Note que para fazer isso, não precisamos resolver nenhuma integral, temos apenas que mostrar que

ln ⁡ 1 + s e n   x 1 - s e n   x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x |

Na verdade, não precisamos nem mostrar que elas são exatamente iguais, basta que elas difiram por uma constante!

Passo 2

A dica dada no enunciado é a seguinte:

1 + s e n   x 1 - s e n   x = 1 + s e n   x 1 - s e n   x ⋅ ( 1 + s e n   x ) ( 1 + s e n   x ) = 1 + s e n   x 2 1 - s e n 2 x = 1 + s e n   x cos ⁡ x 2

Como y 2 = y , temos que

1 + s e n   x 1 - s e n   x = 1 + s e n   x cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x + s e n   x cos ⁡ x

Passo 3

Usando as definições de secante e tangente:

1 + s e n   x 1 - s e n   x = | sec ⁡ x + tan ⁡ x |

Assim,

ln ⁡ 1 + s e n   x 1 - s e n   x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x |

que é precisamente o que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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