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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 17

Calcule a integral sem usar tabelas

int_0^(oo) (d x)/((1 + x) * sqrt(x))

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

Passo 2

Primeiramente vamos manipular a integral como se fôssemos resolver de forma indefinida e, depois, aplicaremos o limite como mostrado no passo acima. Dessa forma,

int_0^(oo) (d x)/((1 + x) * sqrt(x)) =

Fazendo sqrt(x) = u -> (d u)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x)) -> 2 d u = sqrt(x) d x . Quando x = 0 -> u = 0 e quando x = oo -> u = oo

int_0^(oo) (2 d u)/((1 + u^2)) =

underset(b -> oo)(lim) int_0^b (2 d u)/((1 + u^2)) = underset(b -> oo)(l i m) [2 A r c t g (u)] (b)/(0) =

underset(b -> oo)(l i m) [2 A r c t g (b) + 2 A r c t g ( 0 )] = 2 * (pi)/(2) = pi

Resposta

pi

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