Encontre equações para a tangente e para a normal à curva y = 1 + cos x no ponto ( pi / 2,1 ) .

Esboce a curva, a tangente e a normal juntas, identificando cada uma com a sua respectiva equação.

Passo 1

Para achar a equação da reta tangente usamos y = a x + b , onde a é o coeficiente angular da reta e é igual a primeira derivada da função naquele ponto e depois substituímos o ponto nesta equação. Para achar a equação da reta normal utilizamos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas normais é igual a - 1 . Para esboçar o gráfico tomamos o gráfico de c o s x e deslocamos para cima de 1 unidade e em seguida desenhamos a reta tangente no ponto dado e uma reta normal.

Passo 2

y = 1 + c o s x

y ' = - s e n x

No ponto ( π 2 , 1 ) :

y ' = - s e n ( π 2 )

y ' = - 1

Substituindo na equação da reta, temos:

y = - x + b

Como a reta passa pelo ponto ( π 2 , 1 ) , substituímos esse ponto para achar b :

1 = - π 2 + b

b = 2 + π 2

Passo 3

Precisamos achar agora a equação da reta normal:

m 1 , m 2 = - 1

- 1 . m 2 = - 1

m 2 = 1

E temos:

y = x + b

Como a reta passa pelo ponto ( π 2 , 1 ) , substituímos esse ponto para achar b :

1 = π 2 + b

b = 2 - π 2

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados