Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 32

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ sec ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x d x

Passo 1

Faaaala, belezinhas do Responde Aí!! Pra começarmos esse exercício, algumas coisas são essenciais. Por exemplo, precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

A integral em si se identifica com os casos a e b do Teorema 5.2 . 3 . Portanto:

∫ sec ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ sec ⁡ x cos ⁡ x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x d x

Visto que o primeiro termo do integrando não possui uma fórmula de integração definida na Tabela 5.2 . 1 , precisamos lembrar que a função cosseno é o inverso da função secante e vice-versa, ou seja:

1 2 ∫ sec ⁡ x cos ⁡ x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ sec ⁡ x sec ⁡ x d x + 1 2 ∫ d x

Logo:

1 2 ∫ sec ⁡ x cos ⁡ x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x + 1 2 ∫ d x

Passo 3

Com isso, usando a fórmula adequada da Tabela de integração, temos:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x + 1 2 ∫ d x = 1 2 t g x + 1 2 x + C

Ou seja:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x + 1 2 ∫ d x = 1 2 x + t g x + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x 1 2 x + t g x + C = 1 2 1 + 1 2 sec 2 ⁡ x + 0

d d x 1 2 x + t g x + C = 1 2 + 1 2 sec 2 ⁡ x

Podemos reescrever isso como:

d d x 1 2 x + t g x + C = 1 2 + 1 2 sec ⁡ x cos ⁡ x

E, igualando o denominador, conseguimos:

d d x 1 2 x + t g x + C = cos ⁡ x + sec ⁡ x 2 cos ⁡ x

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ sec ⁡ x + cos ⁡ x 2 cos ⁡ x d x = 1 2 x + t g x + C

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