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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 10a

Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ).

∫ x 2 3 d x

Passo 1

Senhoras e senhores!! Vamos começar o espetáculo com esse exercício? Pra isso, precisamos lembrar um pouco da parte de derivadas para nos ajudar a começar a resolver. Visto que o enunciado já nos dá a regra a ser usada, precisamos lembrar (ou mesmo pegar alguma tabela/formulário de derivadas ou ir até a Tabela 5.2 . 1 na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) que a regra da potência é dada por:

∫ x r d x = x r + 1 r + 1 + C ,   r ≠ - 1

Aqui, o valor de r possui uma restrição pelo fato da função resultante da integração não estar definida no ponto restrito.

Passo 2

Então, agora precisamos saber se o integrando está na forma adequada pra calcular a integral dada.

Como o integrando não é uma função x elevado a uma potência constante, precisamos reescrevê-la para que fique na forma desejada.

Uma coisa que conseguimos fazer é transformar a raiz quadrada numa função exponencial de acordo com a propriedade da potenciação, ou seja:

x 2 3 = x 2 / 3

Agora, o expoente é constante e o integrando está na forma x r .

Passo 3

Logo, teremos:

∫ x 2 3 d x = ∫ x 2 / 3 d x = x ( 2 / 3 ) + 1 ( 2 / 3 ) + 1 + C

Tal que:

∫ x 2 / 3 d x = x 5 / 3 ( 5 / 3 ) + C = 3 5 x 5 / 3 + C

Resposta

∫ x 2 3 d x = 3 5 x 5 / 3 + C

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