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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 38

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Se C denota uma constante de integração, então ambas as equações

∫ cos ⁡ x d x = s e n x + C

∫ cos ⁡ x d x = s e n x + π + C

Estão corretas.

Passo 1

Fala, pessoal! Esse exercício envolve a parte mais inicial sobre integrais indefinidas e, pra isso, vamos relembrar algumas definições.

Pelo Teorema no item 5.2 . 2 (na página 323 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON), temos que a antiderivada, ou ainda, a integral indefinida de uma função f x em um intervalo aberto pode ser dada pela fórmula geral:

∫ f x d x = F x + C

Se

d d x F x = f x

Onde C é uma constante arbitrária. Portanto, para cada valor atribuído a essa constante, podemos conseguir uma função diferente, mas que também é a integral indefinida de f .

Passo 2

Então, para comprovar que a integral dada pode ter ambos os resultados, vamos verificar isso através da diferenciação ou derivação como mostrado na segunda equação da parte teórica.

Logo, para a primeira integral:

f x = cos ⁡ x   e   F x = s e n x + C

Então, derivando:

d d x s e n x + C = cos ⁡ x + 0 = cos ⁡ x

Como o resultado dessa derivada resultou no integrando de início, podemos concluir que o resultado da primeira integral é correto.

Passo 3

Agora, para a outra afirmação, fazemos o mesmo procedimento, onde temos:

f x = cos ⁡ x   e   F x = s e n x + π + C

Então, derivando:

d d x s e n x + π + C = cos ⁡ x + 0 + 0 = cos ⁡ x

Da mesma forma, como o resultado dessa derivada resultou no integrando de início, podemos concluir que o resultado da segunda integral também é correto.

Passo 4

Para generalizar a análise, como o valor π é uma constante, podemos dizer que o termo π + C também é uma constante que vamos chamar de C 1 . Então, substituindo na integral da afirmação:

∫ cos ⁡ x d x = s e n x + π + C = s e n x + C 1

É possível observar que ela corresponde à outra integral da afirmação inicial e que ambas correspondem à fórmula geral da integral indefinida.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).
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