Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 18
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:
Passo 1
Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz é chamada de inversa de se:
Em que é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que . Caso , a matriz é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??
Então, vamos ao exercício.
Passo 2
Antes de calcular o determinante da matriz precisamos reduzir sua ordem. Para isso vamos aplicar a regra de Chió. Ela é dada por:
Encontramos um coeficiente igual a 1. Então selecionamos a linha e a coluna do coeficiente. Dos termos que restaram devemos subtrair a multiplicação dos termos correspondentes na linha e coluna que retiramos. Vamos fazer pegar um termo para exemplificar:
O termo na matriz original é 1. Na coluna em que ele estava retiramos o número -1 e, na linha em que ele estava retiramos o número 0. Tudo bem???
Na matriz reduzida este termo será . Fez sentido agora? Vamos então determinar a matriz reduzida:
Agora que temos uma matriz 3x3 podemos calcular o determinante:
Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.
Passo 3
O método mais comum é o seguinte:
Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:
Vamos começar somando a primeira linha na terceira linha:
Agora iremos multiplicar a segunda linha por -1:
Vamos agora subtrair a segunda linha da quarta linha:
Iremos agora somar a quarta linha na terceira:
Nosso próximo passo será somar a quarta linha na primeira:
Agora, vamos somar a terceira linha na segunda linha:
Então, a matriz inversa é:
Resposta
A matriz inversa é: