Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 15

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz é chamada de inversa de se:

Em que é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que . Caso , a matriz é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

Vamos começar dividindo as três linhas por 2:

Agora iremos multiplicar a terceira linha por ½ e subtrair da segunda linha:

Vamos agora multiplicar a segunda linha por ½ e subtrair da primeira linha:

Então, a matriz inversa é:

Resposta

A matriz inversa é:

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Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. a ) Matrizes diagonais n × n .

Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão. a ,2 a ,3 a ; a ∈ R

Em cada um dos Problemas 25 e 26, verifique se a matriz dada satisfaz a equação diferencial dada.25. Ψ ' = 1 1 4 - 2 Ψ,Ψ t = e - 3 t e 2 t - 4 e - 3 t e 2 t

Em cada um dos Problemas 25 e 26, verifique se a matriz dada satisfaz a equação diferencial dada.26. Ψ ' = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1 Ψ,Ψ t = e t e - 2 t e 3 t - 4 e t - e - 2 t 2 e 3 t - e t - e - 2 t e

Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.24. x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x,x = 6 - 8 - 4 e - t + 2 0 1 - 1 e 2 t