Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 11

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz é chamada de inversa de se:

Em que é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que . Caso , a matriz é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

Vamos começar dividindo a primeira linha por 3:

Agora iremos multiplicar a primeira linha por 6 e então, subtrair da segunda linha:

Vamos agora dividir a segunda linha por 4:

Iremos agora multiplicar a segunda linha por 1/3 e soma na primeira linha. Ficamos então com:

Então, a matriz inversa é:

Resposta

A matriz inversa é:

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Seja A uma matriz quadrada. Prove que, se houver duas matrizes B e C tais que A B = I e C A = I , então B = C . Desse modo, se a matriz tiver inversa, ela só poderá ter uma.

Se A ( t ) = e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t e B ( t ) = 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t , encontre(a) A + 3 B (b) A B (c) d A / d t (d) ∫ 0 1

Prove cada uma das propriedades, a seguir, da álgebra de matrizes:(a) A + B = B + A (b) A + B + C = A + B + C (c) α A + B = α A + α B (d) α + β A = α A + β A (e) A B C = A B C (f) A B + C = A B + A C

Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.23. x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - 1 e t , x = 1 0 e t + 2 1 1 t e t

Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.22. x ' = 3 - 2 2 - 2 x, x = 4 2 e 2 t