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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 5b

Verifique se o conjunto abaixo é espaço vetorial real, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.

a ) Matrizes escalares n × n .

Passo 1

Pra começar, vamos listar os oito axiomas que um espaço vetorial atende:

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   a b u = a ( b u )

M 2 )   a + b u = a u + b u

M 3 )   a u + v = a u + a v

M 4 )   1 u = u

Agora vamos testar os axiomas!

Passo 2

Vamos pegar três matrizes A , B e C escalares pra poder testar:

A = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a

B = b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b

C = c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

A 1 )

A + B + C = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b + c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

A + B + C = a + b + c 0 ⋯ 0 0 a + b + c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b + c

A + B + C = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b + c 0 ⋯ 0 0 b + c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b + c

A + B + C = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b + c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

A + B + C = A + ( B + C )

Funcionou!

A 2 )

A + B = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b

A + B = a + b 0 ⋯ 0 0 a + b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b = b + a 0 ⋯ 0 0 b + a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b + a

A + B = b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b + a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a

A + B = B + A

Tudo tranquilo aqui também.

A 3 )

A + 0 = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0

A + 0 = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a

A + 0 = A

Show de bola, falta só mais uma de adição.

A 4 )

A + ( - A ) = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + - a 0 ⋯ 0 0 - a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ - a

A + ( - A ) = a - a 0 ⋯ 0 0 a - a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a - a

A + - A = 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0

A + - A = 0

Beleza, deu certinho! Agora bora pros axiomas de multiplicação!

Passo 3

Bora lá, vamos testar os quatro que faltam!

M 1 )

a b C = a b c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

a b C = a b c 0 ⋯ 0 0 a b c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a b c

a b C = a ( b c ) 0 ⋯ 0 0 a ( b c ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a ( b c )

a b C = a b c 0 ⋯ 0 0 b c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b c

a b C = a b c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

a b C = a ( b C )

Mais uma dando certo! Bora pra próxima.

M 2 )

a + b C = ( a + b ) c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

a + b C = a + b c 0 ⋯ 0 0 a + b c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b c

a + b C = a c 0 ⋯ 0 0 a c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a c + b c 0 ⋯ 0 0 b c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b c

a + b C = a c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c + b c 0 ⋯ 0 0 c ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c

a + b C = a C + b C

Tá acabando!

M 3 )

c A + B = c a + b 0 ⋯ 0 0 a + b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + b

c ( A + B ) = c a + c b 0 ⋯ 0 0 c a + c b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c a + c b

c ( A + B ) = c a 0 ⋯ 0 0 c a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c a + c b 0 ⋯ 0 0 c b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ c b

c ( A + B ) = c a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a + c b 0 ⋯ 0 0 b ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ b

c ( A + B ) = c A + c B

Mais uma e acabou!

M 4 )

1 A = 1 a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a

1 A = a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a

1 A = A

Beleza, finalizamos. Todos os axiomas funcionam, então sim, o nosso conjunto é um espaço vetorial!

Passo 4

A matriz escalar n × n é obtida multiplicação de um escalar pela matriz identidade. Por isso, qualquer uma delas pode ser escrita como:

M = k I

Por isso, a base do conjunto é a matriz identidade, e assim, a dimensão é 1 .

1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

Resposta

É um espaço vetorial, com base igual à matriz identidade, e dimensão igual a 1 .

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