Calcule o limite, se existir.

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Passo 1

Falaaaaaa aí, meu Campeão Tribruxo!!!! Bora embarcar nessa jornada? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o h está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos substituir o valor de h no limite, para ver o que teremos:

L = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

L = 1 x + 0 2 - 1 x 2 0

L = 1 x 2 - 1 x 2 0

L = ⁡ 0 0

Chegamos em uma indeterminação, o que não pode!

Vamos precisar então mexer no interior do limite antes de responder a questão pra ver se a indeterminação some, ok? Vamo que vamo!

Passo 3

Uma ótima estratégia pra gente sumir com a indeterminação é tentar encontrar o mínimo múltiplo comum de:

1 x + h 2 - 1 x 2

Que é parte da nossa função dentro do limite: Nesse caso, ele será:

x 2 x 2 x + h 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 = x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 =

= x 2 - x 2 + 2 x h + h 2 x 2 x + h 2 = x 2 - x 2 - 2 x h - h 2 x 2 x + h 2 =

= - 2 x h - h 2 x 2 x + h 2 = - 2 x h + h 2 x 2 x + h 2

Portanto, podemos reescrever nosso limite para:

L = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = lim h → 0 ⁡ - 2 x h + h 2 x 2 x + h 2 h

Passo 4

Das propriedades dos limites e das frações onde:

lim h → 0 ⁡ - f x = - lim h → 0 ⁡ f x

b c a = b c ∙ a

Ficamos com:

L = - lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h ∙ x 2 ∙ x + h 2

L = - lim h → 0 ⁡ h ∙ 2 x + h h ∙ x 2 ∙ x + h 2

L = - lim h → 0 ⁡ 2 x + h x 2 ∙ x + h 2

Passo 5

O que vamos fazer agora????

O ovo de dragão nos disse a próxima etapa, bora cumpri-la.

Será que agora a indeterminação sumiu? Só substituindo e testando pra saber:

L = - lim h → 0 ⁡ 2 x + h x 2 ∙ x + h 2

L = - 2 x + 0 x 2 ∙ x + 0 2

L = - 2 x x 2 ∙ x 2

L = - 2 x x 4

L = - 2 x 3

Arrasamos!!!!!!

Bora matar mais uma?????

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = - 2 x 3

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