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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 32

Calcule o limite, se existir.

underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Passo 1

Falaaaaaa aí, meu Campeão Tribruxo!!!! Bora embarcar nessa jornada? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o h está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos substituir o valor de h no limite, para ver o que teremos:

L = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

L = ((1)/((x + 0)^2) - (1)/(x^2))/(0)

L = ((1)/(x^2) - (1)/(x^2))/(0)

L = (0)/(0)

Chegamos em uma indeterminação, o que não pode!

Vamos precisar então mexer no interior do limite antes de responder a questão pra ver se a indeterminação some, ok? Vamo que vamo!

Passo 3

Uma ótima estratégia pra gente sumir com a indeterminação é tentar encontrar o mínimo múltiplo comum de:

(1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2)

Que é parte da nossa função dentro do limite: Nesse caso, ele será:

(x^2)/(x^2 (x + h)^2) - ((x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2) = (x^2 - (x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2) =

= (x^2 - (x^2 + 2 x h + h^2))/(x^2 (x + h)^2) = (x^2 - x^2 - 2 x h - h^2)/(x^2 (x + h)^2) =

= (- 2 x h - h^2)/(x^2 (x + h)^2) = - (2 x h + h^2)/(x^2 (x + h)^2)

Portanto, podemos reescrever nosso limite para:

L = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- (2 x h + h^2)/(x^2 (x + h)^2))/(h)

Passo 4

Das propriedades dos limites e das frações onde:

underset(h -> 0)(lim) {- f (x)} = - underset(h -> 0)(lim) {f (x)}

((b)/(c))/(a) = (b)/(c * a)

Ficamos com:

L = - underset(h -> 0)(lim) {(2 x h + h^2)/(h * x^2 * (x + h)^2)}

L = - underset(h -> 0)(lim) {(h * (2 x + h))/(h * x^2 * (x + h)^2)}

L = - underset(h -> 0)(lim) {(2 x + h)/(x^2 * (x + h)^2)}

Passo 5

O que vamos fazer agora????

O ovo de dragão nos disse a próxima etapa, bora cumpri-la.

Será que agora a indeterminação sumiu? Só substituindo e testando pra saber:

L = - underset(h -> 0)(lim) {(2 x + h)/(x^2 * (x + h)^2)}

L = - (2 x + 0)/(x^2 * (x + 0)^2)

L = - (2 x)/(x^2 * x^2)

L = - (2 x)/(x^4)

L = - (2)/(x^3)

Arrasamos!!!!!!

Bora matar mais uma?????

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h) = - (2)/(x^3)

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Calcule o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 - t t
50.Seja f x = x 2 + 1 s ex1 x - 2 2s ex ≥ 1 Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) . lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?Esboce o gráfico de f .
Faça com que: B t = 4 - 1 2 t ,s et2 t + c ,s et ≥ 2 Ache o valor de c para o qual o seguinte limite existe: lim t → 2 ⁡ B ( t )
Calcule o limite, se existir. lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4