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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 25

Calcule o limite, se existir.

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t)

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o t está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

L = underset(t -> 0)(lim) (sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t)

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos t = 0 , vamos ver o que acontece.

L = (1 - 1)/(0) = 0

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 3

Como temos o termo sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t) , é uma boa ideia multiplicarmos por sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t) para aparecer a seguinte fatoração:

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Então vamos lá!

(sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) = (sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) * (sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t))/(sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t))

Logo,

(sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) = ((1 + t) - (1 - t))/(t * ( sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t) ))

Portanto,

(sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) = (2 t)/(t * ( sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t) ))

Como t tendo a 0 , isto é, nunca é 0 , podemos simplificar!

(sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) = (2)/(( sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t) ))

Passo 4

Agora vamos ver como ficam as coisas l�� no limite

L = underset(t -> 0)(lim) (2)/(( sqrt(1 + t) + sqrt(1 - t) ))

Para t = 0 :

L = (2)/(sqrt(1) + sqrt(1)) = 1

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(1 + t) - sqrt(1 - t))/(t) = 1

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