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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 23

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) (sin x)^(x^2)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln (sin x)^(x^2)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) x^2 ln (sin x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0^+)(lim) x^2 ln (sin x) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes x^2 .

underset(x -> 0^+)(lim) x^2 ln (sin x) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln (sin x))/(1 // x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln (sin x))/(x^(- 2))

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> 0^+)(lim) ((cos x)/(sin x))/(- 2 x^(- 3)) = underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g ( x ))/(- 2 x^(- 3))

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^+)(lim) (c o t g ( x ))/(- 2 x^(- 3)) = underset(x -> 0^+)(lim) (- cossec^2 ( x ))/(6 x^(- 4)) = underset(x -> 0^+)(lim) (- x^4 cos sec^2 ( x ))/(6) = 0

underset(x -> 0^+)(lim) (sin x)^(x^2) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) x^2 ln (sin x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) (x^4 cos sec^2 x)/(6)) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (sin x)^(x^2) = 1

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