Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 32
Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos n primeiros termos, então r 1,
Ache o . O resultado será consistente com a soma dos n primeiros termos se r = 1?
Passo 1
Escrenvendo o limite para o calculo, temos:
Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.
Passo 2
Com isso, por L’Hopital temos:
Desse modo a aplicação do limite é direta.
Passo 3
Observe que, o resultando faz sentido, se r é a razão de dois termos sucessivos e r = 1 então o termo seguinte é o mesmo que o primeiro termo. Com isso, todos os temos são iguais. Portando, a soma de todos os termos é igual ao numero de termos vezes o termo.
Resposta
Não.