Enunciado

Calcule o limite, se ele existir. underset(x -> 0)(lim) (s e n h x - s e n x)/(s e n^3 x) .

Passo 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

underset(x -> 0)(lim) (s e n h x - s e n x)/(s e n^3 x) = underset(x -> 0)(lim) (c o s h x - c o s x)/(3 s e n^2 x cos x)

Por L’Hopital novamente,

= underset(x -> 0)(lim) (s e n h x + s e n x)/(- 3 s e n^3 x + 6 s e n x cos^2 x)

Por L’Hopital,

= underset(x -> 0)(lim) (c o s h x + c o s x)/(- 9 s e n^2 x c o s x + 6 cos^3 x - 12 cos x s e n^2 x)

Aplicando o limite, temos:

= (1 + 1)/(0 + 6 - 0) = (2)/(6) = (1)/(3)

Resposta

(1)/(3)

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique o por quê. 17 . lim x → 0 + ⁡ ln ⁡
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