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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 28

Calcule o limite, se ele existir. underset(x -> oo)(lim) ((1)/(x^2) - 2 t g^(- 1) (1)/(x))/((1)/(x)) .

Passo 1

Note que, há uma indeterminação no denominador quando x -> oo . Desse modo, o numerador e o denominador para tirar a indeterminação.

Logo, temos:

underset(x -> oo)(lim) ((1)/(x^2) - 2 t g^(- 1) (1)/(x))/((1)/(x)) = underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) - 2 x t g^(- 1) (1)/(x)

Passo 2

Sabendo que, o limite da soma é a soma dos limites, temos que:

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) - 2 x t g^(- 1) (1)/(x) = underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) - underset(x -> oo)(lim) 2 x t g^(- 1) (1)/(x)

Assim,

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) = 0

Passo 3

Observe que, no segundo limite tem-se uma indeterminação ( oo * 0 ) , isso não pode ocorrer, e não pode aplicar L’hopital direto pois não pertence a nenhum caso.

Portanto, para aplicar L’Hopital se faz a seguinte manipulação:

underset(x -> oo)(lim) 2 x t g^(- 1) (1)/(x) = underset(x -> oo)(lim) (2 t g^(- 1) (1)/(x))/((1)/(x))

Com isso, entra em um dos casos que pode aplicar L’Hopital. Logo,

= underset(x -> oo)(l i m) (- (2)/(1 + x^2))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x^2)/(1 + x^2)

Note que, pode-se aplica novamente L’Hopital:

= underset(x -> oo)(l i m) (4 x)/(1 + 2 x)

Por L’Hopital novamente:

= underset(x -> oo)(l i m) (4)/(2) = 2

Desse modo, no limite geral, temos:

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) - underset(x -> oo)(lim) 2 x t g^(- 1) (1)/(x) = 0 - 2 = - 2

Resposta

-2

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