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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 32

Nos exercícios de 27 a 32, encontre d y d x   por derivação implícita.

32) x ln ⁡ y + y   l n   x = x y

Passo 1

Faala ae, beleza?? Bora derivar!

O exercício solicita d y d x por derivação implícita:

x ln ⁡ y + y   l n   x = x y

Derivando implicitamente:

1 . ln ⁡ y + x y y ' + y ' . ln ⁡ x + y x = 1 . y + x . y '

Multiplicando tudo por x y :

x y ln ⁡ y + x 2 y ' + ( x y ) y ' ln ⁡ x + y 2 = x y 2 + x 2 y ( y ' )

Vamos isolar y ' :

x 2 y ' - x 2 y y ' + x y y ' ln ⁡ x = x y 2 - y 2 - x y ln ⁡ y

E colocá-lo em evidência:

y ' ( x 2 - x 2 y + x y ln ⁡ x ) = x y 2 - y 2 - x y ln ⁡ y

Então:

y ' = x y 2 - y 2 - x y ln ⁡ y x 2 - x 2 y + x y ln ⁡ x

Podemos arrumar um pouquinho colocando y em evidência em cima e x embaixo:

y ' = y ( x y - y - x ln ⁡ y ) x ( x - x y + y ln ⁡ x )

Prontinho!! Acabou! 😊

Resposta

y ' = y ( x y - y - x ln ⁡ y ) x ( x - x y + y ln ⁡ x )

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