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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 7c

7. Calcule

c ) int ( sin x + cos x )^2 d x

Passo 1

Primeiro, precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

int ( sin x + cos x )^2 d x = int (sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x) d x =

int (sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x) d x

Passo 2

Sabemos que pela identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1 . Então vamos substituir,

int (sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x) d x = int (1 + 2 sin x cos x) d x

Vamos usar, também, a identidade trigonométrica sin 2 x = 2 sin x cos x .

int (1 + 2 sin x cos x) d x = int (1 + sin 2 x) d x

Passo 3

Precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k . Sendo c , a e k constantes.

int (1 + sin 2 x) d x = x - (1)/(2) cos 2 x + k

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração

int_0^((pi)/(2)) ( sin x + cos x )^2 d x = (pi)/(2) - (1)/(2) cos (2 (pi)/(2)) - (0 - (1)/(2) cos 0) = (pi)/(2) - (- (1)/(2)) + (1)/(2) = (pi)/(2) + 1

Resposta

Portanto, temos que

int_0^((pi)/(2)) ( sin x + cos x )^2 d x = (pi)/(2) + 1

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